Потрібно розмітити трикутну деталь «посередині». Але посередині чого: нижнього краю, верхнього кута чи перпендикулярної ширини? Це три різні вимоги. Вони дають одну лінію лише за додаткових умов.
Медіана сполучає вершину із серединою протилежної сторони; висота опускає з вершини перпендикуляр до прямої протилежної сторони; бісектриса ділить кут при вершині навпіл. Потрібні елементи трикутника та ознаки рівності.
Три точні вимоги замість слова «середина»
У трикутнику ABC проводимо відрізки з A. Для медіани AM спершу знаходимо середину M сторони BC. Єдина потрібна умова на цю точку:
BM = MC.
З’єднуємо A з M. Це не вимагає прямого кута і не означає поділу кута A навпіл.
Для висоти AH проводимо через A перпендикуляр до прямої BC; H — його основа. Умова AH⊥BC, а не BH=HC. Для бісектриси AL беремо внутрішній промінь кута A, що ділить його на рівні кути, і зупиняємо на стороні BC в точці L:
∠BAL = ∠LAC.
Бісектриса кута як промінь необмежена; бісектрисою трикутника називаємо саме цей відрізок. Рівність кутів не гарантує BL=LC.
Різні задачі — різні відрізки
AM · медіана · суцільна
AH · висота · штрихова
AL · бісектриса · пунктирна
AB = AC: одна вісь із вершини A
Висота на продовження сторони
На першій схемі H, L і M — різні точки. Лінії мають різні кольори й типи штрихування; їхня спільна вершина A не робить їх тією самою лінією.
Висота може виходити за сторону
Для висоти важлива пряма, яка містить сторону. У тупокутному трикутнику дві основи висот лежать на продовженнях сторін, тому відповідні висоти проходять поза внутрішньою областю. У прямокутному трикутнику два катети вже перпендикулярні, тож кожен може бути висотою до іншого. Не потрібно силоміць малювати всі три висоти всередині.
З кожної вершини можна провести медіану, висоту й внутрішню бісектрису: по три відрізки кожного типу. У різносторонньому трикутнику їхнє загальне суміщення не передбачене.
Чому в рівнобедреному трикутнику виходить одна вісь
Нехай AB=AC і M — середина BC. У трикутниках ABM та ACM сторони AB і AC рівні, BM=MC, а AM спільна. За SSS вони рівні.
Тому кути BAM і MAC рівні: AM — бісектриса. Кути AMB і AMC також рівні. Вони суміжні, разом 180°, отже кожен по 90°: AM — висота. Ми почали з медіани й довели дві інші властивості.
Таким чином, із вершини між рівними сторонами медіана, висота й бісектриса збігаються. Ця пряма є віссю симетрії: одна половина деталі дзеркально суміщається з іншою. Кути при основі рівні; у рівносторонньому трикутнику всі кути по 60° і такі осі проходять із кожної вершини. Евклід I.5.
Для симетричної розмітки спочатку перевіряємо AB=AC, потім ділимо основу навпіл. Якщо рівності бічних сторін немає, середина основи сама не гарантує ні перпендикуляра, ні поділу верхнього кута.
Додатковий фактНеобов’язково · можна пропустити
Три сімейства — різні точки перетину
Три медіани перетинаються в центроїді, який ділить кожну у відношенні 2:1 від вершини. Це окрема теорема; університетське пояснення доводить її через подібність або координати, а не вигляд рисунка.
Прямі трьох висот перетинаються в ортоцентрі, а три внутрішні бісектриси — в інцентрі. Це також окремі факти, наведені з доведеннями в матеріалі AMSI. У довільному трикутнику ці точки не зобов’язані збігатися. У рівносторонньому вони збігаються завдяки його симетрії. Основне пояснення трьох відрізків вище цих фактів не потребує.