Точка на ободі колеса повернулася на 60°. Як знайти її координати? Синус і косинус перетворюють кут повороту на координати, навіть після повного оберту. Потрібні функції та степені й корені.

Що вимірює кут

Відлік починаємо з додатного горизонтального напряму; проти годинникової стрілки кут додатний, за нею — від’ємний. Повний оберт повертає точку, але до запису кута додає 360°. Число π — відношення довжини кола до діаметра. Радіан — відношення довжини дуги s до радіуса R:

θ = (s)/(R), s = Rθ; (360)^(∘) = 2π rad, (180)^(∘) = π rad.

При 1 радіані дуга дорівнює радіусу. Радіан безрозмірний, проте позначення rad допомагає відрізняти його від градусів. У формулі дуги θ має бути саме в радіанах.

Поворот і координати

x²+y²=1

-101-11θPxy
Точне коло й проєкції при θ=π/3. P=(1/2,√3/2); однакові масштаби, довжини в одиницях радіуса. Дуга θ починається праворуч і йде проти годинникової стрілки.

Чотири функції з двох координат

На колі радіуса 1 із центром (0,0):

P = (cos⁡θ,sin⁡θ); tan⁡θ = (sin⁡θ)/(cos⁡θ), cot⁡θ = (cos⁡θ)/(sin⁡θ).

Синус — вертикальна координата, косинус — горизонтальна; обидва існують для всіх дійсних кутів і лежать у [−1,1]. У I чверті обидва додатні; у II cos від’ємний, у III обидва від’ємні, у IV sin від’ємний.

Тангенс не існує при θ=π/2+kπ, котангенс — при θ=kπ, k цілий: відповідний знаменник нульовий. OpenStax

Зв’язок із трикутником

Для гострого кута проєкції радіуса утворюють прямокутний трикутник: sin — протилежний катет/гіпотенуза, cos — прилеглий/гіпотенуза. В інших чвертях координати можуть бути від’ємними; довжини сторін не стають від’ємними.

θ = π/3: P = (1/2,√(3)/2), tan⁡θ = √(3), cot⁡θ = 1/√(3).

На колесі R=2 м точка матиме координати (1,√3) м, а пройдена дуга — 2π/3 м. Кути θ+2πk дають ті самі sin/cos. Перед обчисленням перевірте режим DEG/RAD: число 60 без одиниць ще не визначає потрібний поворот.