Два блокноти й одна ручка коштують 110 грн; один блокнот і дві ручки — 100 грн. Скільки коштує кожний товар? Блокнот — 40 грн, ручка — 30 грн. Цю пару потрібно узгодити з обома чеками одночасно: правильність лише одного не достатня.
З одного рівняння і моделі задачі переходимо до двох пов’язаних умов. Нехай x — ціна блокнота, y — ціна ручки в гривнях; ціни однакові в обох покупках, додаткових платежів і знижок немає. У цій моделі ціни — дійсні числа без округлення до копійок.
Розв’язком є пара, а не окреме число
Отримуємо систему рівнянь — умови, які мають виконуватися разом:
{2x + y = 110,; x + 2y = 100.
Пара (x,y) = (40,30) дає 80 + 30 = 110 та 40 + 60 = 100. Порядок чисел важливий: (30,40) дасть 100 у першому чеку й уже не підійде.
Окреме рівняння 2x + y = 110 має багато пар: (40,30), (30,50), (50,10). У загальному записі ax + by = c, де a,b не обидва нульові, це лінійне рівняння двох змінних. Другий незалежний зв’язок може вибрати одну пару з усіх можливостей.
Побачити спільне на графіку
На горизонтальній осі відкладаємо x, на вертикальній — y. Точка (40,30) означає ці дві ціни. Усі пари, що задовольняють перший чек, утворюють пряму y = 110 − 2x; другий дає y = (100 − x)/2. Їхній перетин належить обом прямим, отже відповідає обом чекам.
Один розв’язок
x + 2y = 100
Жодного
4x + 2y = 240
Безліч
4x + 2y = 220
Малюнок підказує відповідь, але координати, зчитані з екрана, можуть бути наближеними. Точність встановимо алгеброю й підстановкою. Системи й способи розв’язування, OpenStax §11.1.
Підстановка залишає одне невідоме
З першого рівняння y = 110 − 2x. Підставимо весь цей вираз замість y у друге:
x + 2(110 − 2x) = 100.
Після розкриття дужок − 3x = − 120, тому x = 40. Повертаємося до першого: y = 110 − 80 = 30. Важливо повернутися: знайдений x сам по собі ще не є парою-розв’язком.
Додавання прибирає одну змінну
Можна уникнути підстановки. Подвоїмо перше рівняння: 4x + 2y = 220. Віднімемо друге, x + 2y = 100: маємо 3x = 120, звідки знову x = 40, y = 30.
При цьому ми зберігаємо одне з початкових рівнянь разом із новим. Замінити всю систему лише різницею не можна: 3x = 120 нічого не говорить про y. Зі збереженою умовою перетворення можна обернути, тому спільні розв’язки не змінюються.
Два чеки можуть не дати двох незалежних умов
Якщо другий чек має вигляд 4x + 2y = 220, він просто подвоює перший. Прямі збігаються, і є безліч пар, наприклад y = 110 − 2x. Для невід’ємних цін лишаються 0 ≤ x ≤ 55; це все одно безліч можливостей.
А якщо другий чек стверджує 4x + 2y = 240, він суперечить першому: той самий набір після подвоєння мав би коштувати 220. Віднімання дає 0 = 20, прямі паралельні, спільних розв’язків немає. У моделі однакових цін це означає несумісні дані, а не «ціну, яку ще не знайшли».
Відгалуження · Крайній випадокУточнення умови про коефіцієнти.
Коли рівняння взагалі не задає пряму
0x + 0y = 0 допускає всі пари, тобто всю площину. 0x + 0y = 5 не допускає жодної. Саме тому для твердження «графік лінійного рівняння — пряма» ми вимагали, щоб хоча б один із коефіцієнтів при змінних був ненульовим.
Система шукає спільну відповідь на всі умови. Підстановка й додавання знаходять її точно; графік пояснює, чому відповідь єдина, відсутня або неоднозначна. Остаточну пару перевіряємо в кожному початковому рівнянні.