Чотири отвори повинні лежати на одному колі. Або кругла вставка має торкатися чотирьох прямих країв. Обидві задачі пов’язані з колом і чотирикутником, але умови в них різні: у першій перевіряємо кути, у другій — сторони.
Вписаний кут дорівнює половині градусної міри дуги, яка не містить його вершини. Для опуклого чотирикутника спільне коло через вершини існує тоді й лише тоді, коли протилежні кути дають 180°; коло всередині, дотичне до всіх сторін, — коли суми протилежних сторін рівні. Потрібні кути трикутника та коло й дотична.
Одна хорда обмежує дві дуги
Кут із вершиною в центрі O — центральний. Радіуси OA і OB обмежують дві кутові області й дві дуги. Повне коло має 360°; менша дуга може мати, наприклад, 120°, тоді більша — 240°. Це міра дуги в градусах, не її довжина.
У вписаного кута вершина P лежить на колі, а сторони проходять через дві інші точки A і B. Беремо дугу AB, на якій P немає. Якщо її міра θ, то:
∠APB = (θ)/(2).
Для дуги 120° кут дорівнює 60°, для дуги 240° — 120°. У другому випадку треба брати відповідний центральний кут понад 180°, а не автоматично менший кут між радіусами. Евклід III.20.
Дуга 120° → вписаний кут 60°
Дуга 240° → вписаний кут 120°
Чотири вершини на колі
Коло всередині, сторони дотичні
Множник 2 виникає з рівнобедрених трикутників: сполучаємо O з вершиною вписаного кута, отримуємо рівні радіуси та рівні кути при основі. Зовнішній кут такого трикутника є сумою двох рівних кутів. Залежно від розташування центра ці частини додаються або віднімаються; половинне співвідношення зберігається.
Вписані кути, які спираються на ту саму дугу, рівні. Проте кути на різних боках однієї хорди можуть бути 60° і 120°: вони спираються на різні дуги. Кут, що спирається на півколо 180°, прямий. Евклід III.21.
Чотири вершини на колі
Далі беремо опуклі чотирикутники: без самоперетинів та внутрішніх кутів 180° або більших. Чотирикутник ABCD вписаний у коло, якщо всі чотири вершини лежать на ньому за порядком.
Протилежні кути A й C спираються на дві дуги, які разом утворюють усе коло. Тому їхня сума — половина 360°:
∠A + ∠C = 180°.
Так само ∠B+∠D=180°. Це необхідна властивість. Обернене твердження теж правильне: якщо в заданого опуклого чотирикутника протилежні кути в сумі 180°, через вершини проходить одне коло. Отже, це також достатній критерій. Евклід III.22, обернений критерій AMSI.
Наприклад, протилежні кути 100° і 80° проходять цю перевірку. Самих двох рівних кутів без уточнення їхнього розташування недостатньо.
Коло торкається чотирьох сторін
Чотирикутник описаний навколо кола, якщо коло всередині й кожна сторона дотична до нього. Точки дотику належать самим сторонам, не їхнім продовженням.
Два дотичні відрізки з однієї зовнішньої точки рівні: радіуси в точки дотику перпендикулярні, а два отримані прямокутні трикутники мають спільну гіпотенузу від точки до центра та рівні радіуси-катети. Тому вони рівні за ознакою гіпотенузи й катета, і дотичні відрізки мають однакові довжини.
Кожна сторона складається з двох таких відрізків від сусідніх вершин. У сумі кожної пари протилежних сторін усі чотири дотичні довжини враховані по одному разу. Якщо a,b,c,d — сторони за порядком:
a + c = b + d.
Це необхідна умова. Для заданого опуклого чотирикутника вона також достатня, але цей обернений напрям є окремою теоремою, а не наслідком одного лише перегрупування доданків. AMSI, формулювання теореми Піто в Mathematical Gazette.
Не підміняйте дві перевірки: 180° стосується вершин на колі, рівність сум довжин — сторін, дотичних до кола. Навіть коли обидві властивості виконуються, вписане й описане кола є різними об’єктами.