Є 20 м огорожі для прямокутної ділянки. Чи однакову площу дають сторони 3 і 7 м та 5 і 5 м? Периметр той самий, але площі 21 і 25 м². Квадратна залежність показує, де збільшення одного розміру перестає допомагати площі.
Потрібні квадратні рівняння та функції. Огорожа охоплює всі чотири сторони; товщину й отвори ігноруємо.
Вершина виникає з невід’ємного квадрата
Нехай x — числова довжина однієї сторони в метрах. З 2(x + y) = 20 друга сторона y = 10 − x. Обидві додатні, тому 0 < x < 10. Числова площа в м²:
S(x) = x(10 − x) = 25 − (x − 5)^(2).
Квадрат невід’ємний, тому S(x) ≤ 25, з рівністю лише при x = 5. Виходить квадрат 5×5 м, а (5,25) — вершина графіка площі. Значення x = 5 − d та x = 5 + d дають однаковий квадрат (d)^(2) і ту саму площу: графік симетричний відносно x = 5.
Графік квадратичної функції називається параболою. Від’ємний коефіцієнт при квадраті тут спрямовує її вітки вниз, тому вершина — максимум. Нульова площа при 0 та 10 відповідає виродженим прямокутникам: ці кінці не входять до моделі. Область значень площі — (0,25].
Як коефіцієнти змінюють форму
Зручно читати запис f(x) = a(x − h)^(2) + k, де a ≠ 0. Вершина — (h,k), вісь симетрії — x = h. При a > 0 вершина є мінімумом, при a < 0 — максимумом. За однакового горизонтального відступу від вершини вертикальний відступ дорівнює a помноженому на квадрат цього відступу.
Від (x)^(2) до 2(x − 1)^(2) − 3: зсуваємо вправо на 1, вертикальні відстані від нульового рівня подвоюємо, тоді опускаємо графік на 3. Отримуємо вершину (1, − 3). Множник −1 перед усім виразом віддзеркалив би результат відносно горизонтальної осі. Форми квадратичної функції, OpenStax §5.1.
Зсув і розтяг
Площа при периметрі 20 м
Вершина в записі ax²+bx+c
Виділення квадрата для a ≠ 0 дає:
a(x)^(2) + bx + c = a((x + (b)/(2a)))^(2) + c − ((b)^(2))/(4a).
Отже h = − b/(2a), k = f(h) = c − (b)^(2)/(4a). Важливо не загубити знак мінус в абсцисі. Для S = − (x)^(2) + 10x маємо a = − 1, b = 10, c = 0, звідки h = 5, k = 25.
Ці координати описують вершину повної параболи. Якщо задача дозволяла б тільки 1 ≤ x ≤ 3, вершина 5 була б недоступною; найбільша площа на цій області становила б 21 м² при x = 3.
Нулі відповідають рівнянням, знак — нерівностям
Нулі f(x) — входи, де f(x) = 0: їх знаходимо квадратним рівнянням. Два різних дійсних корені дають два перетини горизонтальної осі; подвійний — дотик; за від’ємного дискримінанта дійсних нулів немає.
Для f(x) = 2(x − 1)^(2) − 3 умова f(x) ≤ 0 рівносильна (x − 1)^(2) ≤ 3/2. Отже
1 − √(3/2) ≤ x ≤ 1 + √(3/2).
На рисунку це частина параболи на осі або нижче неї. Не потрібно вгадувати знак за виглядом кривої: корені задають межі, а напрям віток чи розклад на множники підтверджує інтервали.
Периметр перетворився на формулу, формула — на квадрат, а квадрат дав точну межу площі. Так само читання вершини допомагає зрозуміти будь-яку квадратну модель, якщо спочатку перевірити її область та одиниці.