Параметр: одна формула, різна кількість розв’язків

Додаткова тема: два умовні тарифи, нульовий коефіцієнт, допустимий обсяг і сім’я парабол.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.6 хв читанняЧастина 49 з 51

Додаткова тема курсу. Повернутися можна до квадратних рівнянь, інтервалів знака та перетворень графіків.

Умовні тарифи залежать від обсягу x≥0. Один має ставку a й початкову плату 3, інший — ставку 1 і плату b. Параметри a,b фіксуємо для однієї задачі; невідомий x шукаємо. Потім класифікуємо всю сім’ю задач за параметрами. Тут a,b≥0, гроші й обсяг у погоджених умовних одиницях; це навчальна модель.

Ділити можна після перевірки

Рівність оплат дає:

$T_1=ax+3,\qquad T_2=x+b,\qquad (a-1)x=b-3.$

Якщо відразу поділити на a−1, втратимо випадок a=1. Розділимо всі допустимі параметри:

Умова	Розв’язки при x≥0
a≠1	один, якщо (b−3)/(a−1)≥0; інакше жодного
a=1, b=3	усі x≥0
a=1, b≠3	жодного

У першому рядку:

$x=\frac{b-3}{a-1}\quad(a\ne1),\qquad x\ge0.$

У двох інших рівняння стає 0·x=b−3. Це тотожність при b=3 і суперечність при b≠3. Випадки не перетинаються й разом покривають усі a,b≥0. OpenStax

При a=2,b=5 маємо x=2, обидві оплати 7. При a=1,b=5 рівність неможлива; при a=1,b=3 оплати збігаються завжди. При a=0.5,b=5 алгебра дає −4, але від’ємний обсяг недопустимий. Граничний b=3 при a≠1 дає дозволений x=0.

Параметр рухає графік

Тепер інша задача: x²=a на всій дійсній прямій, a — будь-яке дійсне число. Від’ємне a не є квадратом дійсного x; нуль дає один корінь 0; додатне — два ±√a.

$x^2=a:\quad a<0\Rightarrow 0,\quad a=0\Rightarrow 1,\quad a>0\Rightarrow 2.$

Числа 0,1,2 після стрілок — кількості різних дійсних коренів, не їхні значення.

Три значення параметра

a=−1 · a=0 · a=1

fₐ(x)=x²−a: суцільна a=−1, пунктир a=0, акцентна a=1. Корені на осі: −1 і 1 для a=1, лише 0 для a=0, жодного для a=−1. Обидві осі безрозмірні, шкали рівномірні.

Графік f_a(x)=x²−a опускається, коли a зростає. Перетини з віссю з’являються після дотику при a=0. Рисунок показує три значення параметра, а повноту класифікації дає властивість квадрата. Вертикальні зміщення.

Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити

Показникова й періодична сім’ї

Із показникових рівнянь знаємо, що e^x додатне й набуває кожного додатного значення рівно раз:

$e^x=a:\quad a>0\Rightarrow x=\ln a;\quad a\le0\Rightarrow\varnothing.$

Для sin x=a на напіввідкритому 0≤x<2π маємо два корені при |a|<1, один при |a|=1 і жодного при |a|>1. Напіввідкритість не дублює кінці періоду. На всій прямій при |a|≤1 коренів нескінченно багато через періодичність. Значення а не змінюється, поки шукаємо x. Тригонометричні рівняння.

Спочатку назвіть області змінної й параметра, потім виділіть нульові знаменники та коефіцієнти, розв’яжіть кожну гілку й перевірте межі. Запит «для яких параметрів?» вимагає повного розбиття, а не кількох вдалих прикладів.

← До журналу