Похила опора має довжину 5 м, а її нижній кінець відстоїть від основи вертикалі на 3 м. Висота конструкції не 5 м. Як пов’язати ці величини й визначити, до якої лінії на землі опора буде перпендикулярною?
Перпендикуляр до площини утворює прямий кут із кожною прямою цієї площини через основу перпендикуляра. Для перевірки достатньо двох різних прямих, що перетинаються в основі. Висота, похила та її ортогональна проєкція утворюють прямокутний трикутник. Потрібні Піфагор та прямі й площини.
Два напрямки визначають перпендикулярність
Нехай l перетинає площину α в H. Запис l⊥α означає: l перпендикулярна до кожної прямої в α, що проходить через H. Не потрібно перебирати безліч прямих. Якщо l⊥a₁ і l⊥a₂, де різні a₁,a₂ лежать у α та перетинаються в H, то l⊥α.
Прямі a₁,a₂ не мусять бути перпендикулярними одна до одної. Важливо, що це два різні напрямки однієї площини, а l проходить через їхню спільну точку. Евклід XI.4, критерій.
Одного прямого кута недостатньо: у самій площині можна провести l⊥a₁, і l при цьому не стане перпендикулярною до площини, в якій лежить. Дві паралельні перевірні прямі також не дають двох незалежних напрямків. Тут розглядаємо перпендикулярність прямих, що перетинаються; кути між мимобіжними розглянемо окремо.
Перпендикуляр, похила та її проєкція
Нехай P не лежить у α, а PH⊥α, H∈α. Відрізок PH — перпендикуляр від P, H — його основа. Довжина PH є відстанню від P до площини. Такий перпендикуляр існує; його побудову подає Евклід XI.11.
Основа єдина. Якби інша H′ також була основою, Піфагор дав би PH′²=PH²+HH′² і PH²=PH′²+HH′². Разом це означає HH′=0, тобто H′=H. Тому будь-який PK із K∈α,K≠H — похила; K — її основа.
При ортогональному проєктуванні на α точка P переходить у H, а K лишається K. Тому проєкція відрізка PK — HK. Не плутаємо її з PH: PH є висотою, HK лежить у площині.
Два різні напрямки в α
Вертикальний переріз: 3–4–5
Від проєкції до похилої
Оскільки PH перпендикулярна до всіх прямих площини через H, маємо PH⊥HK. Отже:
(PK)^(2) = (PH)^(2) + (HK)^(2).
У нашому власному прикладі HK=3 м, PK=5 м, тому PH=√(25−9)=4 м. А якщо висота 4 м і проєкція іншої похилої HL=6 м, її довжина PL=√(16+36)=√52≈7,211 м. Кожне число відповідає своєму відрізку, не відстані на екрані.
Чому перпендикуляр найкоротший
Для будь-якого K≠H у площині HK>0, тому PK²=PH²+HK²>PH². Звідси PK>PH. Це доводить, що PH — найкоротший шлях від P до площини, а не лише один зі способів сполучення.
Для похилих із тієї самої точки до тієї самої площини висота PH спільна. Тому рівним проєкціям відповідають рівні похилі й навпаки. Більшій проєкції відповідає довша похила. Порівнювати так відрізки з різними вихідними точками або до різних площин без спільної висоти не можна.
Теорема про три перпендикуляри
Нехай a — пряма у площині α через K, а HK — ненульова проєкція похилої PK. Тоді a⊥HK означає a⊥PK. Правильний і зворотний висновок: якщо a⊥PK, то a⊥HK.
У третьому рисунку a проходить через нижній кінець опори K поперек її проєкції HK. Так ми отримуємо прямий кут із самою похилою, хоча це не видно як 90° у плоскому ракурсі. Якщо забути умову a⊂α або взяти іншу проєкцію, висновок уже не обґрунтований.
У нашій моделі відстань від P до площини — 4 м, а до прямої a — 5 м: перпендикуляром до a є саме PK. Для іншої точки X на a маємо PX²=PK²+KX², тому коротшого сполучення з a немає. «Відстань до площини» та «відстань до прямої в ній» — різні задачі.
Доказ через відстаніНеобов’язково · можна пропустити
Чому обидва напрями теореми правильні
Візьмімо на a точки U,V по різні боки від K з KU=KV. У площині α пряма HK перпендикулярна a тоді й лише тоді, коли HU=HV: це властивість серединного перпендикуляра. Висота PH дає PU²=PH²+HU² та PV²=PH²+HV². Отже, HU=HV тоді й лише тоді, коли PU=PV.
У трикутнику PUV точка K — середина UV. Тому PU=PV рівносильне тому, що медіана PK є висотою, тобто PK⊥a. Ланцюжок рівносильностей доводить і пряму, і обернену теореми. HK≠0 тут важливо: при K=H маємо сам перпендикуляр, а напрям нульової проєкції не визначений.
У просторовій задачі спершу знаходимо основу H, потім проєкцію HK, а вже тоді похилу PK та потрібну пряму a. Це перетворює складний ракурс на кілька обґрунтованих прямокутних трикутників; перевірка рисунка лишається перевіркою моделі, а не вимірюванням перспективи.