Навіщо замінювати числа літерами

Один товар коштує 120 умовних грошових одиниць, доставлення замовлення — ще 40. Для трьох штук рахуємо $120\cdot3+40=400$ . Для п’яти — $120\cdot5+40=640$ . Майже весь запис повторюється. Літери дозволяють зберегти правило, а числа підставляти лише тоді, коли відомі дані.

Тут достатньо вміти працювати з цілими й дробовими числами. Розв’язувати складні рівняння поки не потрібно.

Що саме означає кожна літера

Позначимо кількість товарів через $n$ , ціну однієї штуки через $p$ , плату за доставлення через $d$ , а повну вартість через $C$ . Тоді маємо формулу:

C=pn+d.

Запис $pn$ означає множення $p\cdot n$ . Спочатку знаходимо вартість усіх товарів, потім один раз додаємо доставлення. Число $n$ — змінна: у різних замовленнях воно може бути 1, 3, 5. Значення змінної — вибране число, наприклад 3. Значення всього виразу при $n=3$ , $p=120$ , $d=40$ — 400. OpenStax, §1.2 про змінні, вирази й підстановку.

Для одного тарифу $p=120$ і $d=40$ фіксовані: вони відіграють роль параметрів моделі. Якщо порівняти інший тариф, їх можна змінити. Наприклад, за $p=80$ , $d=0$ ті самі три штуки коштуватимуть 240. Роль літери визначає задача: $p$ не є назавжди «сталою» лише через свою назву.

Фіксуємо тариф: p = 120 (ціна за штуку); d = 40 (доставлення за замовлення).

n× 120+ 40→ C

Кількість n, шт.	Підстановка	Вартість C
1	120 × 1 + 40	160
3	120 × 3 + 40	400
5	120 × 5 + 40	640

Одна формула C = pn + d, три значення кількості. Ціна p = 120 і доставлення d = 40 задані в умовних грошових одиницях; n — додатне ціле число.

Підстановка зберігає порядок дій

Вираз $pn+d$ — запис дій, який можна обчислити після вибору значень. Формула $C=pn+d$ пов’язує величини рівністю. Тут $120\cdot3+40$ не дорівнює $120\cdot(3+40)$ : дужки наказали б множити на ціну також і плату за доставлення.

Коли підставляємо від’ємне число, беремо його в дужки. Наприклад, для іншого, суто числового прикладу $2x+5$ при $x=-3$ отримаємо $2\cdot(-3)+5=-1$ . Це допустима алгебраїчна підстановка, але −3 штуки не входять до нашої моделі покупки.

Рівність може бути умовною або тотожною

Запис $120n+40=400$ правильний за $n=3$ , але за $n=1$ ліва частина дорівнює 160. Коли шукаємо значення, за яких рівність справджується, перед нами рівняння. Пізніше ми навчимося систематично його розв’язувати.

Натомість $p(n+1)=pn+p$ правильне для всіх дійсних $p,n$ . Це тотожність — рівність, що справджується для всіх допустимих значень змінних. Вона є випадком розподільного закону: помножити суму на число означає помножити кожний доданок і скласти результати. Властивості дій із дійсними числами, OpenStax §1.1.

У моделі покупки це видно без формальних перетворень: $n+1$ однакових товарів — це $n$ товарів плюс ще один, отже, $p(n+1)$ і $pn+p$ описують ту саму вартість товарів. Для від’ємних чисел закон також діє, хоча буквальний образ кількості товарів уже непридатний. Кілька вдалих числових перевірок не доводять тотожності для всіх чисел; тут підставою є закон дій.

Формула потребує меж

Для цієї покупки беремо лише ціле $n\ge1$ , невід’ємні $p$ і $d$ та однакові грошові одиниці. Арифметично можна підставити $n=0$ й отримати $C=d$ , але це ще не доводить, що магазин бере плату за неіснуюче замовлення. Такий випадок потребує окремого правила.

Так само формула не враховує знижок за кількість чи безкоштовного доставлення після певного порога. Якщо умови змінилися, треба змінити модель, а не лише вставити нове число в старий запис.

Відгалуження · Перевірка одиницьДодаткова перевірка формули; основне пояснення від неї не залежить.

Як помітити помилку до обчислення

Ціна $p$ має одиницю «грошові одиниці за штуку», а кількість $n$ — «штуки». У добутку $pn$ штуки скорочуються й залишаються грошові одиниці. Доставлення $d$ вимірюємо в тих самих одиницях, тому додавати його можна.

Вираз $p+n$ натомість додавав би ціну за штуку до кількості штук. Навіть якщо калькулятор видасть число, воно не матиме потрібного змісту. Узгоджені одиниці допомагають відсіяти помилку, але самі собою не доводять, що всі умови моделі правильні.

Літера зберігає місце для числа разом із його змістом. Щоб прочитати нову формулу, підпиши кожну величину й одиницю, назви допустимі значення та перевір один конкретний випадок. Тоді $pn+d$ стає коротким правилом, яке можна пояснити й перевірити.