Як відновити координату візка, знаючи швидкість 2t+1 м/с? Однієї швидкості замало: два візки можуть рухатися однаково, але стартувати з різних місць. Первісна відновлює величину з її похідної з точністю до сталої; початкова умова визначає цю сталу. Потрібні правила похідних.

Що саме відновлюємо

Первісна F для f на проміжку — функція, похідна якої дорівнює f у кожній його точці. Запис із знаком інтеграла називається невизначеним інтегралом і позначає всю сім’ю:

F′(x) = f(x), ∫f(x) dx = F(x) + C.

Рівняння F′=f, де невідома сама функція F, є найпростішим диференціальним рівнянням: воно задає її похідну. Стала C зникає при диференціюванні, тому її не можна відновити зі швидкості. Якщо F і G мають ту саму похідну, похідна їх різниці нульова; на одному проміжку така різниця стала. Отже, це всі можливі первісні, а не лише кілька прикладів. OpenStax

Для умовної моделі t — число секунд, s — число метрів, 0≤t≤3:

v(t) = 2t + 1, s(t) = (t)^(2) + t + C; s(0) = 5⇒C = 5.

У момент 2 с координата 11 м. Переміщення від початку дорівнює 11−5=6 м, а не 11 м. Початкова умова не змінює швидкості; вона зсуває весь графік координати.

Сім’я з однаковою швидкістю

s=t²+t+C; C=0,3,5

0123051015t, сs, м
Умовні координати s=t²+t+C, t у секундах, s у метрах. Штрихова C=0, крапкова C=3, помаранчева C=5. Перші точки — різні початкові координати; у кожен момент нахил однаковий. Шкали рівномірні.

Коротка таблиця, яку можна перевірити

Кожну формулу перевіряємо диференціюванням правої частини. Для дійсного r обираємо x>0; для цілих невід’ємних степенів результат поширюється як поліном.

∫(x)^(r) dx = ((x)^(r + 1))/(r + 1) + C (r ≠ − 1, x > 0).

Випадок r=−1 окремий, бо в попередній формулі знаменник став би нульовим:

∫(1)/(x) dx = ln⁡∣x∣ + C (x ≠ 0).

Цю формулу розглядаємо на проміжку, що не перетинає нуль. На від’ємній і додатній півосях сталі можуть бути різні. Для b>0, b≠1:

∫(e)^(x) dx = (e)^(x) + C; ∫(b)^(x) dx = ((b)^(x))/(ln⁡b) + C.

Для тригонометричних функцій аргумент у радіанах; знаменники в останньому рядку ненульові на вибраному проміжку:

∫cos⁡x dx = sin⁡x + C; ∫sin⁡x dx = − cos⁡x + C.

∫(dx)/((cos⁡)^(2)x) = tan⁡x + C; ∫(dx)/((sin⁡)^(2)x) = − cot⁡x + C.

Прості правила

Якщо F′=f, G′=g, а a,b — сталі, лінійність дає:

∫(af + bg) dx = aF + bG + C.

Для лінійного внутрішнього аргументу обертаємо ланцюгове правило:

∫f(kx + b) dx = (F(kx + b))/(k) + C (k ≠ 0).

∫cos⁡(3x + 1) dx = (1)/(3)sin⁡(3x + 1) + C.

Похідна синуса дає додатковий множник 3, тому первісна потребує 1/3. Це правило не дозволяє ділити на довільну змінну похідну всередині іншого виразу. Спершу перевірте проміжок, потім продиференціюйте знайдену функцію й підставте початкову умову: так стала C перестає бути невідомою.