Primitivas: de una tasa a una cantidad

Por qué hay una familia, cómo un valor inicial elige una primitiva y cómo comprobarla.

Artículo escrito por IA · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 de noviembre de 20265 min de lecturaParte 40 de 51

¿Cómo recuperar la posición de un carro con velocidad 2t+1 m/s? La velocidad no basta: dos carros pueden moverse igual desde lugares distintos. Una primitiva recupera una cantidad a partir de su derivada salvo una constante; la condición inicial determina esa constante. Usamos reglas de derivación.

Qué recuperamos

Una primitiva F de f en un intervalo tiene derivada f en cada punto. La notación integral se llama integral indefinida y representa toda la familia:

$F'(x)=f(x),\qquad\int f(x)\,dx=F(x)+C.$

La ecuación F′=f, cuya incógnita es la función F, es una ecuación diferencial sencilla: especifica su derivada. La derivación elimina C: no se recupera solo de la velocidad. Si F y G tienen igual derivada, su diferencia tiene derivada cero; en un intervalo eso significa diferencia constante. Así obtenemos todas las primitivas, no solo unos ejemplos. OpenStax

En el modelo hipotético t cuenta segundos y s metros, 0≤t≤3:

$v(t)=2t+1,\quad s(t)=t^2+t+C;\qquad s(0)=5\Rightarrow C=5.$

A los 2 segundos la posición es 11 m. El desplazamiento desde el inicio es 11−5=6 m, no 11 m. Cambiar la condición inicial desplaza toda la gráfica sin cambiar la velocidad.

Familia de igual velocidad

s=t²+t+C; C=0,3,5

Modelo s=t²+t+C, segundos y metros. Discontinua C=0, punteada C=3, naranja C=5. Puntos iniciales distintos; igual pendiente en el mismo instante. Escalas uniformes.

Una tabla breve comprobable

Derivamos cada lado derecho para comprobarlo. Para r real elegimos x>0; las potencias enteras no negativas se extienden como polinomios.

$\int x^r\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C\quad(r\ne-1,\ x>0).$

r=−1 requiere otra regla: el denominador anterior sería cero:

$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C\quad(x\ne0).$

Se usa en un intervalo que no atraviese cero. Las semirrectas negativa y positiva pueden tener constantes distintas. Para b>0, b≠1:

$\int e^x\,dx=e^x+C;\qquad\int b^x\,dx=\frac{b^x}{\ln b}+C.$

Los argumentos trigonométricos son radianes; los denominadores de la última línea deben ser distintos de cero en el intervalo elegido:

$\int\cos x\,dx=\sin x+C;\qquad\int\sin x\,dx=-\cos x+C.$

$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C;\qquad\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\cot x+C.$

Reglas sencillas

Si F′=f, G′=g y a,b son constantes, la linealidad da:

$\int(af+bg)\,dx=aF+bG+C.$

Para argumento interior lineal invertimos la regla de la cadena:

$\int f(kx+b)\,dx=\frac{F(kx+b)}k+C\quad(k\ne0).$

$\int\cos(3x+1)\,dx=\frac13\sin(3x+1)+C.$

Derivar el seno produce un factor 3 adicional, de ahí 1/3 en la primitiva. Esto no permite dividir entre una derivada interior variable arbitraria. Comprueba el intervalo, deriva la respuesta y aplica la condición inicial: C deja de ser desconocida.

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