Raíces y potencias fraccionarias: deshacer una potencia

Un panel cuadrado tiene área 16 m². Su lado mide 4 m, pues $4\cdot4=16$ . Un cubo de volumen 27 m³ tiene arista 3 m, pues $3\cdot3\cdot3=27$ . Extraer una raíz recupera un número a partir de su potencia, pero una potencia par obliga a elegir el signo.

Usaremos conjuntos numéricos, potencias y restricciones del dominio. Las fórmulas $S=s^2$ del área del cuadrado y $V=s^3$ del volumen del cubo multiplican dos y tres longitudes iguales, respectivamente.

Área = lado × lado; volumen = arista × arista × arista. Longitudes positivas. Son diagramas separados; la perspectiva del cubo es esquemática y no se comparan tamaños entre dibujos.

Un radical y dos números posibles

La raíz cuadrada principal $\sqrt a$ es el número no negativo cuyo cuadrado es $a$ . Para obtener un resultado real se necesita $a\ge0$ . Por tanto, $\sqrt{16}=4$ , no $\pm4$ , y $\sqrt0=0$ .

Otra pregunta es qué números satisfacen $x^2=16$ . Son dos: 4 y −4, porque ambos cuadrados valen 16. Una longitud negativa no sirve para el panel, pero el número negativo sí resuelve la ecuación numérica. Raíces principales, OpenStax §1.3.

De ahí $\sqrt{x^2}=|x|$ . El valor absoluto $|x|$ es la distancia entre $x$ y cero: vale $x$ si $x\ge0$ , y $-x$ si $x<0$ . Por ejemplo, $\sqrt{(-5)^2}=5$ , no −5. Elevar al cuadrado borra el signo inicial; el radical no lo recupera automáticamente.

Índices pares e impares

En $\sqrt[n]a$ , el entero $n\ge2$ es el índice. El resultado elevado a $n$ da $a$ ; con $n$ par elegimos el resultado no negativo.

Un índice par exige un radicando no negativo. Un índice impar admite todo número real: $\sqrt[3]{-27}=-3$ , pues $(-3)^3=-27$ . La potencia impar conserva el signo y no hay ambigüedad. Un volumen negativo de la caja no tiene sentido físico; la raíz cúbica negativa es una operación algebraica.

Simplificar radicales

Para $a,b\ge0$ , $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ : el producto derecho es no negativo y su cuadrado es $ab$ . Para el cociente se requieren $a\ge0,b>0$ : $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ . Así, $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ .

Primero simplificamos y después reunimos radicales iguales: $\sqrt{18}+\sqrt8=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2$ . No hay una regla análoga para sumas: $\sqrt{9+16}=5$ , mientras que $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ . También importan los signos: $\sqrt{(-1)(-1)}=1$ , pero cada $\sqrt{-1}$ por separado no está definida en los reales.

El exponente fraccionario expresa la misma operación

Para $a>0$ , un entero $m$ y un entero $n\ge2$ , definimos:

a^{m/n}=(\sqrt[n]a)^m.

El denominador indica la raíz; el numerador, la potencia. Por ejemplo, $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$ , y $16^{-1/2}=1/\sqrt{16}=1/4$ .

Con bases positivas se conservan las reglas: $a^pa^q=a^{p+q}$ , $(a^p)^q=a^{pq}$ y $(ab)^p=a^pb^p$ para $a,b>0$ y $p,q$ racionales. Para base cero permitimos exponentes positivos, pero ni cero ni negativos. Las bases negativas requieren un análisis aparte: que exista una raíz impar no autoriza aplicar sin condiciones todas las reglas.

Rama · Una transformaciónOtro uso de la diferencia de cuadrados.

Eliminar una raíz del denominador

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $\sqrt3-1$ :

\frac1{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{\sqrt3-1}{2}.

Los conjugados difieren en el signo entre términos. El multiplicador no es cero y conserva el valor. Cambia la forma, no la precisión: ambas expresiones son exactas.

Una raíz recupera una cantidad a partir de su potencia con una regla de signo definida. Conviene comprobar radicandos y denominadores antes de transformar: una fórmula más corta no elimina esas condiciones.