Un alquiler de equipos tiene una tarifa hipotética de 40 unidades monetarias de gestión y 30 por hora. Dos horas cuestan 100. ¿Cómo responder con una sola regla para todas las duraciones permitidas? Una función asigna exactamente un resultado a cada entrada admitida.
Bastan las variables y expresiones. La tarifa inventada admite cualquier duración real entre 0 y 4 horas, inclusive; cobra proporcionalmente las fracciones de hora y no añade otros pagos.
Una regla junto con su dominio
Sea t la duración numérica en horas y C(t) el coste numérico en unidades monetarias. Entonces
C(t) = 40 + 30t, 0 ≤ t ≤ 4.
t es el argumento, o entrada. C nombra la función; C(t) es su valor en t, no el producto de C por t. Por ejemplo, C(2) = 40 + 30 ⋅ 2 = 100. Duración cero significa aquí un alquiler tramitado sin uso: la cuota fija permanece.
El dominio contiene todas las entradas permitidas: [0,4]. El recorrido contiene todos los resultados realmente alcanzados: [40,160]. No es solo una lista de unos pocos precios calculados. Todo precio entre 40 y 160 se alcanza con t = (C − 40)/30, situado entre 0 y 4. Definición de función, OpenStax §3.1.
Tres representaciones de la misma relación
La fórmula permite calcular cualquier entrada admitida. La tabla muestra pares seleccionados. La gráfica los sitúa en el plano: primera coordenada horizontal, segunda vertical.
Tabla y gráfica de C(t)=40+30t
| t, h | C, u.m. |
|---|---|
| 0 | 40 |
| 1 | 70 |
| 2 | 100 |
| 4 | 160 |
El punto (2,100) significa «dos horas, cien unidades monetarias», no dos unidades monetarias ni cien horas. El paso horizontal es 1 hora; el vertical, 40 unidades monetarias. Una misma longitud en pantalla no iguala unidades diferentes.
El segmento continuo se justifica por la fórmula y porque el modelo admite cualquier duración real. Una tabla de cuatro filas por sí sola no determina los valores intermedios. Si el servicio cobra por cada hora entera empezada, cambiarían la regla, el dominio o la gráfica; esta podría ser escalonada.
Un resultado único no exige resultados distintos
Para el mismo t = 2 permitido, la tarifa no puede dar simultáneamente 100 y 120. Esa relación no sería función de la duración solamente: falta otra entrada, como la categoría del equipo. En cambio, entradas distintas pueden compartir resultado. Con una cuota fija F(t) = 40, todas las duraciones permitidas cuestan 40.
Geométricamente aparece la prueba de la recta vertical: para un t fijo, una vertical corta la gráfica de una función como máximo una vez. Fuera del dominio no la corta. Una horizontal puede cortarla muchas veces sin infringir la definición.
La fórmula no anula el contexto
Sustituir t = − 1 en 40 + 30t es aritméticamente posible, pero una duración negativa queda fuera de nuestra función. También t = 6 supera las 4 horas acordadas. La misma fórmula en un dominio más amplio definiría otra función y no garantizaría un precio real. Dominio y recorrido, OpenStax §3.2.
Ante una relación desconocida, identifica primero la entrada, sus unidades y el dominio permitido; después, la regla y los resultados alcanzados. Fórmula, tabla y gráfica serán tres maneras de leer la misma historia.