Si cada esquina de una forma octogonal debe estar a 2 m del centro, el punto medio de cada lado estará más cerca. Confundir los dos radios produce una distancia incorrecta entre lados opuestos.
Un polígono regular tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales. Su circunferencia circunscrita pasa por los vértices; la inscrita es tangente a los lados. Comparten centro, pero sus radios son distintos. Usamos ángulos en la circunferencia, semejanza y seno y coseno.
No toda línea cerrada es nuestra figura
Aquí el polígono es simple: sus lados forman un contorno cerrado sin autointersecciones y los lados adyacentes no son colineales. Un n-gono tiene n vértices y n lados; el perímetro es la suma de sus longitudes.
Un polígono convexo queda a un lado de cada recta que contiene uno de sus lados. Todos sus ángulos interiores son menores de 180°. Una figura simple cóncava tiene un ángulo interior mayor de 180°; es otra forma simple, no una estrella que se cruza consigo misma. OpenStax: tipos de polígonos.
Lados iguales solos no garantizan regularidad: un rombo de ángulos 60° y 120° no es un cuadrado. Ángulos iguales solos tampoco bastan: un rectángulo de lados adyacentes distintos no es regular. Se necesitan ambas condiciones.
De dónde sale la suma de ángulos
Desde un vértice de un n-gono convexo trazamos todas las diagonales. Forman n−2 triángulos interiores sin superposición. Sus ángulos juntos componen los del polígono, así que:
S_{\text{ángulos}}=(n-2)\cdot180\text{°}.
Son 720° para un hexágono y 1080° para un octágono. Dividir entre n para obtener un ángulo solo vale si los ángulos son iguales. Cada ángulo interior de un n-gono regular mide 180°−360°/n. El giro exterior al recorrerlo es 360°/n, y los giros suman 360°.
En un octágono el interior mide 135° y el exterior 45°. El ángulo entre radios a vértices adyacentes también es 45°, pero está en el centro, no en un vértice: es el ángulo central.
Pentágonos convexo y cóncavo
n = 6, R = 2, r ≈ 1,732
n = 8, R = 2, r ≈ 1,848
Mitad del triángulo central
Dos circunferencias y un triángulo rectángulo
Sean O el centro común, A y B vértices adyacentes y M el punto medio de AB. Entonces OA=OB=R, OM=r, AB=s y OM⊥AB. OM es una apotema; su longitud es el inradio.
¿Por qué comparten centro? Lo hallamos al intersectar las bisectrices de dos ángulos adyacentes. Los lados y ángulos iguales dan después triángulos consecutivos congruentes entre ese punto y los vértices adyacentes. Son iguales todas las distancias a vértices, así como las alturas a los lados. Una circunferencia pasa por los vértices y otra toca los lados. El radio hasta un vértice supera la perpendicular hasta un lado, así que R>r.
La altura OM divide el ángulo central por la mitad: ∠AOM=180°/n. En AOM la hipotenusa es R, el cateto adyacente r y el opuesto s/2. Por tanto:
s = 2Rsin((180°)/(n)), r = Rcos((180°)/(n)).
Aquí n es un entero no menor que 3 y los argumentos de seno y coseno están en grados. También R=s/(2sin(180°/n)) y perímetro P=ns. WYDOT, Plane Geometry, E-4.
Trazar un octágono alrededor del centro
Con n=8 y R=2 m, el ángulo central es 45° y su mitad 22,5°. Luego s=4sin22,5°≈1,531 m y r=2cos22,5°≈1,848 m.
Entre vértices opuestos hay 4 m; entre lados opuestos, 2r≈3,696 m. Al ser ocho par, los vértices y lados opuestos se emparejan simétricamente respecto del centro. Para un n impar arbitrario no existe el mismo concepto de «dos lados opuestos».
Para el trazado marcamos ocho direcciones cada 45° desde O y llevamos R=2 m sobre cada una. Unimos puntos adyacentes con segmentos, no arcos. Los números se redondean para explicar el modelo; la precisión real depende de los instrumentos.
Adicional: un hexágono sin transportador
Un hexágono regular tiene ángulo central de 60°. El triángulo entre radios adyacentes es equilátero: el lado del hexágono es R. Sobre una circunferencia dada, marcamos con el compás cuerdas sucesivas de longitud R. Seis pasos iguales cierran un hexágono exacto en el modelo ideal. Euclides IV.15.
Una fórmula numérica para cualquier n y una construcción exacta solo con regla sin marcas y compás son problemas diferentes. Vimos una construcción posible concreta; esta lección no demuestra la clasificación general de constructibilidad.