Hay 560 unidades monetarias para materiales. El envío cuesta 80 y cada kit, 60. ¿Cuántos kits puedes pedir? Una ecuación encuentra el gasto exacto; una desigualdad describe todos los pedidos que caben en el presupuesto.
Partimos de los números reales y las ecuaciones. Los precios son hipotéticos.
De una restricción a un conjunto
Sea n el número de kits. 80 + 60n ≤ 560 significa gastar como máximo 560. Restamos 80 y dividimos entre 60, positivo: n ≤ 8. El modelo exige además un entero n ≥ 0. La respuesta es {0,1,2,…,8}; cero significa no realizar el pedido, sin envío efectivo. Si es obligatorio pedir al menos un kit, quedan 1–8. Nueve kits costarían 620.
Para una variable real, x ≤ 8 describe la semirrecta ( − ∞,8]. El corchete incluye el extremo; el paréntesis lo excluye. El infinito no es un número de la recta y siempre lleva paréntesis. La desigualdad estricta x < 8 excluye 8.
Por qué un multiplicador negativo invierte el signo
Sumar lo mismo a ambos lados desplaza los dos puntos por igual y conserva su orden. Un factor positivo también lo conserva; multiplicar por −1 refleja la recta: 2 < 5, pero − 2 > − 5.
Así, 7 − 2x > 1 produce − 2x > − 6; al dividir entre −2 obtenemos x < 3. Comprobación: x = 2 da 3 > 1; el extremo x = 3 da una igualdad excluida. Multiplicar por una expresión variable de signo desconocido exige separar los casos de signo. Multiplicar por cero destruye la información. Propiedades, OpenStax §2.7.
«Y» y «o» producen conjuntos diferentes
Las condiciones x > 1 y x ≤ 4 se cumplen juntas en (1,4]: su intersección. Con x > 1 o x ≤ 4 basta una de las dos, de modo que la unión es toda la recta real. Un sistema de desigualdades significa «y»; 1 < x ≤ 4 escribe ese sistema de forma compacta.
Intersección: ambas condiciones
(1, ∞) ∩ (−∞, 4] = (1, 4]
Unión: al menos una
(1, ∞) ∪ (−∞, 4] = ℝ
Otro ejemplo: x < 0 o x ≥ 3 da ( − ∞,0)∪[3,∞). El hueco entre 0 y 3 permanece. Si exigimos x < 0 y x ≥ 3 simultáneamente, la intersección es vacía: ∅.
Rama · Demostrar una cotaUn cuadrado siempre es no negativo.
Cómo demostrar una estimación para todo x
Todo real x satisface (x − 3)^(2) ≥ 0. Al desarrollar: (x)^(2) − 6x + 9 ≥ 0, luego (x)^(2) − 6x + 11 ≥ 2. Hay igualdad en x = 3, así que 2 es la cota inferior alcanzada, o mínimo. Comprobar diez valores aislados no demostraría esto para todo x.
Rama · MediasSolo para dos números no negativos a y b.
La media aritmética no es menor que la geométrica
De (√(a) − √(b))^(2) ≥ 0 se deduce a + b − 2√(ab) ≥ 0. Por tanto, (a + b)/(2) ≥ √(ab), con igualdad solo si a = b. Para 4 y 9, la media aritmética es 6,5 y la geométrica es 6. Es AM–GM para dos números; las raíces cuadradas reales ya requieren a,b ≥ 0.
Lee la respuesta frente a cada condición original: ¿se incluye el extremo?, ¿deben cumplirse todas juntas?, ¿permite el problema cualquier valor real? Estas preguntas convierten un signo de desigualdad en una descripción precisa de lo posible.