Cómo reducir una ecuación difícil a otra más sencilla

La ecuación $x^4-5x^2+4=0$ tiene grado cuatro, pero repite una estructura: $x^4$ es el cuadrado de $x^2$ . Al escribir $t=x^2$ obtenemos una cuadrática conocida. Después hay que volver de $t$ a todos los $x$ posibles, en lugar de responder para otra variable.

Necesitamos factorización y ecuaciones cuadráticas. Trabajamos con números reales; las soluciones complejas quedan fuera de esta lección.

Una sustitución lleva su condición

Una ecuación bicuadrada tiene forma $ax^4+bx^2+c=0$ , $a\ne0$ . Sustituir $t=x^2$ produce $at^2+bt+c=0$ , necesariamente con $t\ge0$ .

Aquí $t^2-5t+4=0$ , o $(t-1)(t-4)=0$ . Por tanto, $t=1$ o 4. Todavía no es la respuesta final:

x^2=1\quad\text{o}\quad x^2=4.

La primera da $x=\pm1$ ; la segunda, $x=\pm2$ . Sirven los cuatro. Comprobación: con $x^2=1$ la expresión inicial es $1-5+4=0$ ; con $x^2=4$ , $16-20+4=0$ .

La sustitución t=x² exige t ≥ 0. Ambos t son admisibles. Al volver obtenemos los cuatro x: −2, −1, 1, 2; no debe omitirse el signo negativo.

La sustitución no es uno a uno: 1 y −1 dan el mismo $t=1$ . Por eso el regreso se ramifica.

Una raíz para t puede no dar un x real

En $x^4+3x^2-4=0$ la misma sustitución da $(t-1)(t+4)=0$ . El número $t=-4$ sí resuelve la cuadrática en $t$ , pero no puede ser el cuadrado de un $x$ real. Se descarta por $t\ge0$ ; quedan solo $x=\pm1$ .

También puede sustituirse toda una expresión repetida, como $t=(x+1)^2$ . Se mantiene $t\ge0$ , pero hay que volver a $(x+1)^2=t$ , no a $x^2=t$ . Ecuaciones de forma cuadrática, OpenStax §2.6.

Factorizar también reduce el grado

Sea $P(x)=x^3-4x^2+x+6$ . Probar $x=2$ da $8-16+2+6=0$ , sugiriendo el factor $x-2$ . Para hallar el resto dividimos el polinomio por ese binomio, eliminando sucesivamente el término principal.

Primero tomamos $x^2$ : restar $(x-2)x^2=x^3-2x^2$ deja $-2x^2+x+6$ . Después tomamos $-2x$ : restamos $-2x^2+4x$ y queda $-3x+6$ . El último término del cociente, −3, elimina lo que queda. Así:

P(x)=(x-2)(x^2-2x-3).

El cociente es $x^2-2x-3$ ; el resto, 0. Multiplicar de nuevo permite comprobar los cuatro coeficientes de $P$ . En general, dividir por un polinomio no nulo $B$ da una identidad $P=BQ+R$ , donde $R=0$ o el grado de $R$ es menor que el de $B$ . División de polinomios, OpenStax §5.4.

El teorema del resto explica la sustitución

Para el divisor $x-r$ , el resto es constante: $P(x)=(x-r)Q(x)+R$ . Al sustituir $x=r$ desaparece el producto, de modo que $R=P(r)$ . Es el teorema del resto, también llamado teorema de Bézout sobre restos. Por tanto, $r$ es raíz si y solo si $x-r$ divide exactamente al polinomio. Teoremas del resto y del factor, OpenStax §5.5.

Aquí $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ , así que $P(x)=0$ da $x=2,3,-1$ . No dividimos la ecuación entre $x-2$ perdiendo el 2: consideramos el cero de cada factor. Acertar al probar 2 no implica que los ensayos siempre encuentren una raíz rápidamente.

Rama · Una comprobaciónLa división funciona sin conocer una raíz.

Si el resto no es cero

Para $P(x)=x^2+1$ , tenemos $P(x)=(x-2)(x+2)+5$ . El resto 5 equivale a $P(2)$ , luego 2 no es raíz. La identidad vale incluso para $x=2$ , aunque la fracción numérica $P(x)/(x-2)$ no está definida allí. Una identidad polinómica y el dominio de un cociente son cuestiones distintas.

Reducir el grado funciona al conservar la relación con el problema original: condición de la sustitución y todas sus ramas de regreso, o cada factor del producto nulo. Una expresión intermedia más corta es útil junto con esa relación.