Necesitamos el área de una parcela rectangular de lados (x + 2) m y (x + 3) m. ¿Por qué (x + 2)(x + 3) da (x)^(2) + 5x + 6 y no solo (x)^(2) + 6? Porque cada parte de un lado forma un rectángulo con cada parte del otro. Los dos productos mixtos también tienen área.
Usaremos variables y la propiedad distributiva y las reglas de las potencias. x es el valor numérico de una longitud base en metros; para la partición visual tomamos x > 0.
Cuatro partes en lugar de una conjetura
Dividimos la anchura en x y 2, y la altura en x y 3. Obtenemos un cuadrado de área (x)^(2), dos franjas de áreas 2x y 3x y un rectángulo en la esquina de área 6. Todas las áreas están en metros cuadrados.
Sumamos las contribuciones: (x)^(2) + 2x + 3x + 6 = (x)^(2) + 5x + 6. Para entender cuáles pueden combinarse, pongamos nombre a los bloques de la expresión.
Monomio, coeficiente y grado
Un monomio es un número o un producto de un coeficiente numérico y variables elevadas a exponentes enteros no negativos. Por ejemplo, − 3(a)^(2)b tiene coeficiente −3 y grado 2 + 1 = 3. En su forma simplificada, los factores numéricos ya están multiplicados y cada variable aparece como una sola potencia: 2a ⋅ 3ab = 6(a)^(2)b.
Un polinomio es una suma de monomios; el signo menos puede entenderse como un coeficiente negativo. Los coeficientes pueden ser enteros, fracciones u otros números reales. (x)^( − 1) = 1/x no es un monomio de este tipo: el exponente −1 no es un entero no negativo.
Una constante no nula como 6 tiene grado 0. Aquí no asignamos grado al polinomio cero. El grado de un polinomio no nulo es el mayor grado de sus términos no nulos después de simplificar. En (x)^(2) + 5x + 6 es 2; en 3(x)^(2) − 3(x)^(2) + 5 = 5 es 0. Definiciones y operaciones en OpenStax, §1.4.
Qué términos son semejantes
2x y 3x tienen la misma parte literal, por eso 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x. Son términos semejantes. En (x)^(2) y x los exponentes son distintos; no podemos sumar sus coeficientes para formar un solo término. Comprobar x = 2 detecta el error: (x)^(2) + x = 6, mientras que 2(x)^(2) = 8.
Para ordenar un polinomio de una variable, reducimos términos semejantes, eliminamos los nulos y escribimos las potencias en orden descendente. Por ejemplo, 6 + 3x + (x)^(2) + 2x = (x)^(2) + 5x + 6.
Sumar y restar respetando los signos
Para sumar quitamos los paréntesis y reunimos potencias iguales:
((x)^(2) + 2x − 1) + (3(x)^(2) − x + 4) = 4(x)^(2) + x + 3.
Para restar cambiamos el signo de cada término del segundo polinomio:
((x)^(2) + 2x − 1) − (3(x)^(2) − x + 4) = − 2(x)^(2) + 3x − 5.
La razón es que multiplicamos todo el segundo paréntesis por −1: − (3(x)^(2) − x + 4) = − 3(x)^(2) + x − 4. Cambiar solo el primer signo produciría otra expresión.
Multiplicar cada término por cada término
La propiedad distributiva da dos pasos sucesivos:
(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3).
Desarrollamos ambos paréntesis: (x)^(2) + 3x + 2x + 6 = (x)^(2) + 5x + 6. Al multiplicar dos binomios aparecen primero cuatro productos; algunos se convierten después en términos semejantes. El mismo método sirve con más términos: no debemos omitir ninguna contribución.
Para x = 4, el área inicial es 6 ⋅ 7 = 42 m². La expresión transformada da 16 + 20 + 6 = 42 m². La comprobación numérica ayuda a encontrar errores; la propiedad distributiva justifica la identidad para todos los números.
Rama · Límites del modeloMás sobre valores negativos; el método de multiplicación ya está deducido.
Cuándo el rectángulo deja de explicar la expresión
Para x = − 1, la identidad algebraica sigue dando ( − 1 + 2)( − 1 + 3) = 2 y 1 − 5 + 6 = 2. Pero no podemos dividir un lado en un segmento ordinario de longitud −1 m. El dibujo de cuatro áreas ordinarias deja de servir, aunque los lados exteriores sigan siendo positivos. Entonces nos apoyamos en la propiedad aritmética, no en una imagen geométrica literal.
Un polinomio conserva las contribuciones separadas a un resultado. Los términos semejantes se pueden reunir; al multiplicar hay que incluir todas las parejas. Por eso aparece el término central 5x en el área de la parcela.