La tarifa A cobra 80 unidades monetarias de gestión y 20 por hora. La B cobra 20 de gestión y 35 por hora. Un comienzo más barato no garantiza un alquiler largo más barato. Una función lineal separa la cuota inicial del precio constante por cada hora adicional.
Usamos ecuaciones y funciones. Son tarifas hipotéticas: un servicio, cualquier duración 0 ≤ t ≤ 8 horas, cobro proporcional de fracciones de hora y ningún otro pago ni redondeo.
Dos coeficientes, dos papeles distintos
Con t numérico en horas y C en unidades monetarias:
C_(A)(t) = 80 + 20t, C_(B)(t) = 20 + 35t.
Son ejemplos de y = kx + b, una función lineal en la convención escolar usada aquí, también llamada afín cuando hay término independiente. b es el valor con entrada cero: aquí la cuota de un alquiler tramitado sin uso. k es el cambio de salida por unidad de entrada: 20 unidades monetarias/hora para A, 35 para B. La unidad de b es monetaria. A la cuota se suma la tasa multiplicada por el tiempo, no el tiempo solo.
Para dos entradas distintas:
k = (y_(2) − y_(1))/(x_(2) − x_(1)).
En A, pasar de 1 a 3 horas cambia el coste de 100 a 140: k = (140 − 100)/(3 − 1) = 20. Media hora añade 10. Esta constancia produce una recta, o un segmento en un dominio restringido. Su ángulo en pantalla depende también de las escalas; las unidades y los incrementos son más fiables que la inclinación visual. Funciones lineales, OpenStax §4.1.
Dónde coinciden las tarifas
Igual precio significa 80 + 20t = 20 + 35t. Así, 60 = 15t, luego t = 4 horas y ambos precios son 160. Las gráficas se cortan en (4,160).
Dos tarifas en los mismos ejes
La diferencia es C_(A) − C_(B) = 60 − 15t. Antes de 4 horas es positiva: A cuesta más. Después es negativa: A cuesta menos. A las 2 horas los precios son 120 y 90; a las 6, 200 y 230. La conclusión vale solo para las 0–8 horas permitidas y los pagos indicados.
Intersecciones con los ejes y signo de la pendiente
Con t = 0 obtenemos el corte vertical: para A, (0,80). Para el corte horizontal exigimos C_(A) = 0, que formalmente da t = − 4. Ese punto está en la recta prolongada, no en la gráfica de nuestra función tarifaria, porque el tiempo negativo está excluido.
Si k > 0, la función crece; si k < 0, decrece; si k = 0, es constante. Un coeficiente negativo podría describir material restante bajo consumo constante. No obliga a que la salida misma sea negativa.
Cuándo existe proporcionalidad directa
Con b = 0 obtenemos y = kx. Para k no nulo hay proporcionalidad directa: duplicar la entrada duplica la salida y y/x = k es constante si x ≠ 0. D(t) = 20t, sin cuota inicial, tiene esta propiedad. La tarifa A no: C_(A)(1) = 100 y C_(A)(2) = 120, no 200.
La recta ax + by = c, con b ≠ 0, se escribe y = − (a/b)x + c/b. Si b = 0 y a ≠ 0, resulta la vertical x = c/a: un mismo x corresponde a muchos y y no es una gráfica de y como función de x.
Al leer una tarifa, identifica primero la cuota fija y la unidad del incremento. El punto de intersección se convierte entonces en un umbral de comparación comprensible.