Has recorrido dos tramos. La longitud del camino es la suma de sus longitudes, pero el final puede estar mucho más cerca del inicio. ¿Qué notación conserva tanto la magnitud como la dirección de cada paso?
Un vector describe un cambio dirigido de posición. Los vectores se suman por componentes; el módulo de la suma da la distancia del inicio al final, no la longitud del camino quebrado. El producto escalar devuelve un número que relaciona longitudes y ángulo. Usamos coordenadas y seno y coseno.
Punto, flecha y longitud
El punto A(x;y) es una posición. El segmento dirigido AB representa el vector de A a B. Llamamos u a este vector. Sus componentes son «final menos inicio»:
u = (x_(B) − x_(A); y_(B) − y_(A)).
Tratamos vectores libres: flechas de igual longitud y dirección son iguales aunque empiecen en puntos distintos. Las trasladamos paralelamente, sin girarlas. La misma longitud por sí sola no implica igualdad de vectores. OpenStax, definición y componentes.
Para u=(uₓ;uᵧ), el módulo |u|=√(uₓ²+uᵧ²) es un número no negativo, no un vector. El vector nulo 0=(0;0) tiene módulo 0 y carece de dirección definida. Por ejemplo, los puntos (1;2) y (5;3) dan el vector (4;1); √17 es su longitud.
Dos desplazamientos: por qué funciona el paralelogramo
Nuestro ejemplo, en metros: u=(4;1),v=(−1;3). El primer paso avanza 4 a la derecha y 1 arriba; el segundo, 1 a la izquierda y 3 arriba. El resultado:
u + v = (4 − 1; 1 + 3) = (3;4), ∣u + v∣ = 5.
La regla del triángulo sitúa el origen de v en el extremo de u. La suma va desde el primer origen al segundo extremo. Si colocamos ambos vectores en un origen común, para vectores no colineales la diagonal del paralelogramo da la misma suma. El orden no cambia el resultado: u+v=v+u.
Suma: triángulo y paralelogramo
Diferencia del extremo de v al de u
Proyección de b sobre a
El camino mide √17+√10≈7,285 m, mientras que el módulo del desplazamiento es 5 m. Son preguntas distintas y no hay contradicción. La regla del triángulo también funciona con pasos colineales, aunque el paralelogramo degenere.
Resta y multiplicación por un número
Restar v equivale a sumar su opuesto −v: u−v=(4−(−1);1−3)=(5;−2). Con origen común, la flecha del extremo de v al extremo de u representa u−v. La flecha inversa es v−u.
Para un número λ, λu=(λuₓ;λuᵧ) y |λu|=|λ|·|u|. Con λ>0, un vector no nulo conserva dirección y sentido; con λ<0 invierte el sentido. Con λ=0 obtenemos el vector nulo, sin dirección definida. En particular, −2u=(−8;−2), de longitud doble y sentido contrario a u.
Dos vectores no nulos son colineales si uno es múltiplo escalar del otro, como (4;1) y (−8;−2). Podemos comprobarlo sin dividir entre un posible cero: uₓvᵧ−uᵧvₓ=0. Por convenio, el vector nulo es colineal con cualquier vector; esto no le atribuye dirección.
Producto escalar: un número en vez de una flecha
En coordenadas ortonormales definimos:
u ⋅ v = u_(x)v_(x) + u_(y)v_(y) = ∣u∣ ∣v∣cosφ.
La última igualdad relaciona componentes y ángulo φ entre vectores no nulos, de 0° a 180°. Para nuestra pareja u·v=4·(−1)+1·3=−1. Por tanto, cosφ=−1/√170,φ≈94,40°: ligeramente obtuso. Un producto positivo indica 0°≤φ<90° y uno negativo, 90°<φ≤180°. Para vectores no nulos, producto cero significa perpendicularidad.
u·u=|u|² no es negativo, pero u·v sí puede serlo. «Escalar» importa: es un número, a diferencia de λu o u+v. Paul Dawkins, producto escalar.
Proyección: cuánto apunta a lo largo de a
Tomamos otra pareja a=(4;0),b=(2;3). Bajamos una perpendicular desde el extremo de b hasta la recta de a. La proyección escalar con signo de b sobre la dirección de a es b·a/|a|=8/4=2. La proyección vectorial es (b·a/|a|²)a=(2;0). La primera es un número; la segunda, un vector.
Para a≠0 las fórmulas también valen con ángulo obtuso: la proyección escalar es negativa y la vectorial tiene sentido contrario a a. Con perpendicularidad, ambas valen cero. No proyectamos así sobre el vector nulo: el denominador es 0 y no existe dirección.
Conexión con lo anteriorOpcional · puedes omitirlo
Por qué aparece el coseno
Colocamos u,v en un origen común. La ley de cosenos da |u−v|²=|u|²+|v|²−2|u||v|cosφ. Desarrollar el mismo miembro izquierdo por coordenadas da |u|²+|v|²−2(uₓvₓ+uᵧvᵧ). Comparar produce la igualdad buscada. Para vectores no nulos colineales, la igualdad se comprueba directamente con φ=0° o 180°. Para un vector nulo, el producto por componentes existe y vale 0, pero no definimos ángulo.
Antes de calcular, nombramos el objeto: punto, desplazamiento, longitud o proyección. El tipo de respuesta, un par de componentes o un número, forma parte de la comprobación.