Una copia de un motivo ornamental debe colocarse en otro lugar. Deslizar, girar y reflejar son operaciones distintas, aunque sus dimensiones puedan conservarse. ¿Cómo describimos la acción prevista sin ambigüedad?
Una isometría del plano conserva la distancia entre cualquier par de puntos. Reflexión, giro y traslación producen figuras congruentes con el original, pero pueden cambiar su posición y orientación. En general, el orden de varios movimientos importa. Usamos congruencia de triángulos, coordenadas y vectores.
Qué se conserva
Una transformación asigna a cada punto X una imagen F(X). Los movimientos tratados son biyecciones de todo el plano sobre sí mismo: cada imagen tiene un único original. La condición de isometría es F(X)F(Y)=XY para cada par X,Y. Conservar una longitud o un área aislada no basta.
Así se conservan longitudes de segmentos, puntos intermedios, amplitudes de ángulos y perpendicularidad. Las imágenes de los tres vértices de un triángulo tienen los mismos tres lados; LLL da iguales ángulos correspondientes. También se conservan perímetro y área de polígonos. Las coordenadas individuales sí pueden cambiar. AMSI, congruencia mediante movimientos.
Reflexión respecto de una recta
Al reflejar respecto de l, XX′ es perpendicular a l y su punto medio está en l. Los puntos del eje quedan fijos. Respecto del eje y, (x;y)→(−x;y); respecto de x, (x;y)→(x;−y).
Podemos reflejar cualquier figura; no hace falta que tenga ya eje de simetría. Un eje de simetría de una figura es una recta cuya reflexión lleva la figura sobre sí misma. Nuestro triángulo escaleno no tiene ninguno. Su imagen especular invierte la orientación del recorrido de los vértices etiquetados; solo con traslaciones y giros en el plano no puede superponerse al original.
Reflexión respecto de y
Simetría central
Giro de +90°
Traslación (3;0)
La simetría central es media vuelta
Respecto del centro O, X pasa a X′ y O es el punto medio de XX′. O queda fijo. Si O(0;0), (x;y)→(−x;−y); si O(a;b), (x;y)→(2a−x;2b−y).
Es un giro de 180°, no una reflexión axial. Conserva la orientación del triángulo. Una figura tiene centro de simetría cuando este movimiento la lleva sobre sí misma: el paralelogramo lo tiene en el cruce de diagonales; nuestro triángulo no tiene ninguno.
Giro: centro, ángulo y sentido
Fijamos centro O y ángulo orientado α. La distancia OX se conserva mientras el rayo OX gira α. En nuestras coordenadas el sentido positivo es antihorario. Un giro de 90° alrededor del origen es (x;y)→(−y;x). El giro horario de 90° sería (x;y)→(y;−x).
Para A(1;1),B(4;1),C(2;3), el giro positivo de 90° da A′(−1;1),B′(−1;4),C′(−3;2). Los lados no cambian. Giramos activamente la figura con ejes fijos, sin cambiar de sistema de coordenadas. Un giro de 360° devuelve cada punto a su lugar. AMSI, construcción de movimientos.
Traslación: el mismo cambio para todos
Para t=(p;q), cada punto sigue (x;y)→(x+p;y+q). Con t=(3;0), el triángulo pasa a A′(4;1),B′(7;1),C′(5;3). No basta mover A: aplicamos el mismo cambio a todos los puntos.
¿Por qué se conserva la distancia? Las diferencias entre coordenadas de imágenes contienen (x₂+p)−(x₁+p)=x₂−x₁, y lo mismo para y. Las constantes añadidas se cancelan en la fórmula de distancia. Trasladar por el vector nulo es la identidad.
Dos acciones: comprobar el orden con un punto
Sea R el giro de 90° alrededor del origen y T la traslación por (3;0). Para P(2;1):
- Primero R y después T: (2;1)→(−1;2)→(2;2).
- Primero T y después R: (2;1)→(5;1)→(−1;5).
Los resultados difieren. En T∘R actúa primero la operación derecha R: T(R(P)). La composición de dos isometrías vuelve a conservar distancias: la segunda conserva la distancia posterior a la primera, que conservó la inicial. VCAA–AMSI, transformaciones y composición.
Con fórmulasOpcional · puedes omitirlo
Un giro general y cómo volver
Para centro O(a;b), restamos sus coordenadas, giramos y después las sumamos de nuevo:
x′ = a + (x − a)cosα − (y − b)sinα,
y′ = b + (x − a)sinα + (y − b)cosα.
Las fórmulas aceptan grados o radianes si el modo de seno y coseno coincide. El giro inverso usa −α; la traslación inversa, −t; reflejar dos veces respecto de la misma recta da la identidad. Algunas composiciones difieren de las cuatro acciones mostradas: una reflexión combinada con traslación a lo largo de su eje puede dar una reflexión deslizante. Aquí no necesitamos la clasificación completa.
Para superponer un elemento del dibujo anotamos parámetros y orden, además del nombre: eje; centro y ángulo orientado; o vector. Después comprobamos vértices correspondientes y sus distancias.