Una habitación rectangular tiene lados de 4,2 m y 5,6 m. El camino más corto entre esquinas opuestas sigue la diagonal, no dos paredes. Podemos calcularlo sin medir en diagonal.
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos: a²+b²=c². Recíprocamente, esa igualdad entre los lados garantiza que el ángulo opuesto a c es recto. Aquí a,b forman el ángulo recto; c es el lado opuesto y más largo. Usamos triángulos semejantes y operaciones con raíces cuadradas.
Los cuadrados de longitudes tienen sentido geométrico
Un cuadrado de lado a tiene área a². Imaginemos un cuadrado grande de lado a+b y cuatro triángulos rectángulos idénticos de catetos a,b. Cada uno tiene área ab/2, la mitad del rectángulo correspondiente.
En el primer dibujo, los triángulos dejan dentro un cuadrado de lado c. Sus ángulos son rectos porque los dos ángulos agudos del triángulo original suman 90°. En el segundo reordenamos los mismos cuatro triángulos y quedan cuadrados de lados a y b. El cuadrado grande y el área retirada no cambian: los restos son iguales.
(c)^(2) = (a + b)^(2) − 4(ab)/(2) = (a)^(2) + (b)^(2).
Cuatro triángulos, resto c²
Mismos triángulos, resto a² + b²
Proyecciones y media geométrica
El dibujo usa a=3,b=4, pero el argumento funciona para cualesquiera a,b positivos: solo necesita cuatro triángulos rectángulos congruentes. AMSI: demostración por disección, Euclides I.47.
Hallar la longitud, no su cuadrado
La diagonal de la habitación es la hipotenusa:
d = √((4,2)^(2) + (5,6)^(2)) = √(49) = 7 m.
Tomamos la raíz positiva porque una longitud es positiva. El valor al cuadrado, 49, tiene unidades m²; la raíz devuelve metros. Si conocemos la hipotenusa c y un cateto b, el otro es a=√(c²−b²); para un triángulo no degenerado hace falta c>b>0.
No podemos sustituir √(a²+b²) por a+b. En el ejemplo, el camino junto a las paredes mide 9,8 m y la diagonal, 7 m. Tampoco podemos aplicar la igualdad porque el dibujo parezca casi rectángulo: un triángulo equilátero de lado 2 daría la falsedad 4=4+4.
Comprobar un ángulo recto: el recíproco
Si los lados de un triángulo existente cumplen a²+b²=c², el ángulo opuesto a c es recto. Construimos otro triángulo rectángulo con catetos a,b. Por el teorema ya demostrado, su hipotenusa mide c. Es congruente con el dado por LLL, así que el ángulo correspondiente también mide 90°. Es una demostración aparte del recíproco. Euclides I.48.
Para una esquina física podemos comparar tres longitudes medidas con la igualdad, pero la precisión de la conclusión está limitada por sus errores. El criterio ideal no fija por sí mismo una tolerancia de construcción.
La altura crea otros dos triángulos semejantes
Sean ∠C=90°, AB=c, AC=b y BC=a. Bajamos CH=h hasta la hipotenusa; AH=p y HB=q, así que p+q=c. p y q son las proyecciones ortogonales de los catetos correspondientes sobre AB, no los propios catetos.
Por AA, los triángulos ABC, ACH y CBH son semejantes. Las razones correspondientes dan:
(c)/(b) = (b)/(p), (c)/(a) = (a)/(q), (p)/(h) = (h)/(q).
Por tanto:
(b)^(2) = cp, (a)^(2) = cq, (h)^(2) = pq.
Sumando las dos primeras volvemos a obtener a²+b²=c(p+q)=c²: otra demostración mediante semejanza. Euclides VI.8.
En el dibujo a=3,b=4,c=5. Así, p=16/5=3,2, q=9/5=1,8 y h=√(3,2·1,8)=2,4. Al cateto 4 le corresponde la proyección 3,2, no 1,8: importa el orden de las etiquetas.
La media geométrica se puede construir
De h²=pq sale h=√(pq), la media geométrica de p y q positivos. Para construirla colocamos A,H,B sobre una recta con AH=p y HB=q, trazamos la semicircunferencia de diámetro AB y levantamos una perpendicular por H hasta cortarla en C. ACB es recto por la propiedad del diámetro, así que CH tiene la longitud buscada.
Para p=q vale p. Si p,q son distintos, no confundamos √(pq) con la media aritmética (p+q)/2. En nuestro ejemplo valen 2,4 y 2,5 respectivamente.