¿Cómo dividir un segmento por la mitad si la regla no tiene marcas? No hace falta adivinar: las circunferencias fijan distancias iguales y sus intersecciones determinan la recta buscada.

Una construcción geométrica es una secuencia finita de operaciones permitidas, acompañada de una demostración. La regla sin marcas traza rectas; el compás traza circunferencias y traslada una longitud dada como radio. Usaremos los criterios de congruencia de triángulos y los lugares geométricos.

Primero, las reglas de los instrumentos

No leemos centímetros ni usamos los dos bordes de la regla como paralelas ya disponibles. Una recta exige dos puntos distintos previamente construidos. Una circunferencia exige un centro construido y una longitud para el radio. En el modelo escolar, el compás conserva su abertura para trasladar segmentos. Incluso en el modelo clásico más restrictivo, unas construcciones auxiliares permiten trasladar longitudes. Euclides I.2, AMSI.

Un dibujo físico tiene errores. La demostración se refiere al modelo ideal: la igualdad se justifica por radios y teoremas, no por la precisión del lápiz.

Un punto medio y un ángulo recto con un algoritmo

Sean A≠B. La solución tiene cuatro partes.

  1. Análisis. Buscamos la mediatriz: sus puntos equidistan de A y B. Las intersecciones de circunferencias iguales proporcionan dos puntos así.
  2. Construcción. Trazamos circunferencias con centros A y B, ambas de radio AB. Llamamos P y Q a sus intersecciones y trazamos PQ. Sea M la intersección de PQ con AB.
  3. Demostración. PA=PB y QA=QB por ser radios de circunferencias iguales. P y Q pertenecen a la mediatriz, así que PQ es esa recta. Por tanto, AM=MB y PQ⊥AB.
  4. Discusión. Hay dos intersecciones porque AB<2AB. Determinan una única recta PQ y un único punto medio M. El radio elegido importa: para dos circunferencias iguales debe superar AB/2.

1 · Dos circunferencias de radio AB

AB

2 · Dos intersecciones P y Q

ABPQ

3 · Recta PQ y punto medio M

ABPQM

Bisectriz: circunferencias por O y Q

OUVQ

LLL: dos posiciones, una forma

ABC₁C₂234
Escala uniforme en cada panel; longitudes en unidades arbitrarias. En los tres primeros AB=2 y ambos radios son AB. Los pasos añaden intersecciones, después PQ y M. Para la bisectriz se muestran 60°: OU=OV=UV, las circunferencias auxiliares se cortan en O y Q; elegimos Q≠O. Al final: base 4 y radios 2 y 3; C₁ y C₂ son posiciones reflejadas.

Las circunferencias auxiliares siguen visibles para mostrar de dónde salen P y Q. Comprobar con una cinta métrica no sustituiría el tercer paso.

Una bisectriz sin transportador

Desde el vértice O de un ángulo dado mayor que cero y menor que 180°, trazamos un arco de cualquier radio. Corta los lados en U y V, con OU=OV. Desde U y V trazamos circunferencias con el mismo radio UV. Elegimos un punto común Q interior al ángulo, distinto de O, y trazamos la semirrecta OQ.

OU = OV, UQ = VQ, OQ = OQ.

Los triángulos OUQ y OVQ son congruentes por LLL: el ángulo queda dividido por la mitad. En el ejemplo dibujado de 60°, una intersección auxiliar es O; elegimos la otra, Q. Euclides I.9.

Trasladar datos y construir un triángulo

Para marcar la longitud AB desde P sobre una semirrecta dada, trazamos una circunferencia de centro P y radio AB. Su intersección con la semirrecta da el otro extremo.

Para copiar un ángulo, marcamos dos puntos en sus lados mediante un arco de un mismo radio. En el nuevo vértice repetimos ese radio y la cuerda entre los dos puntos. El tercer lado del triángulo reconstruido fija el ángulo por LLL. Elegimos el lado de la nueva semirrecta según la condición. Euclides I.23.

Para LLL, trazamos la base c e intersectamos circunferencias de radios a y b desde sus extremos. Para LAL, trasladamos dos lados y precisamente el ángulo comprendido. Para ALA, trazamos un lado y copiamos sus ángulos adyacentes; las semirrectas se cortan en el tercer vértice. Aquí el ángulo dado es un objeto geométrico que copiar, no una exigencia de construir cualquier número de grados.

¿Qué contamos como solución?

Con base 4 y radios 2 y 3, el tercer vértice tiene dos posiciones reflejadas. Son dos construcciones respecto de la base fija, pero una sola clase de congruencia de triángulos. Si se especifica un semiplano, queda una posición.

Con base 5, las mismas circunferencias son tangentes: existe un punto a las distancias pedidas, pero los tres vértices son colineales y no hay triángulo no degenerado. Con base 6, ni siquiera hay un punto común. Contamos por separado las intersecciones y las figuras admisibles. Euclides I.22.

Dato adicionalOpcional · puedes omitirlo

Estos instrumentos no permiten dividir cualquier ángulo a voluntad

Podemos trisecar 90°: construimos un triángulo equilátero y dividimos su ángulo de 60° por la mitad para obtener 30°. Sin embargo, trisecar exactamente un ángulo dado de 60° en tres de 20° es imposible usando solo regla sin marcas y compás. Es un teorema algebraico aparte sobre números construibles, no un intento fallido sobre el papel. Comentario a Euclides I.9.

Una regla marcada u otro instrumento cambia las reglas del problema. Las construcciones básicas de esta lección no necesitan el teorema de imposibilidad.