Un cono y un cilindro tienen igual base y altura. ¿Por qué cabe en el cono un tercio, y no la mitad? Su triángulo axial ocupa la mitad del rectángulo, pero el área de un corte no determina el volumen.
Medir espacio con cubos
Requisitos: escala y área, prismas, pirámides, cilindros y conos, superficie esférica y bola.
El volumen compara un sólido con el cubo unidad. Un bloque rectangular de 6×4×3 cm contiene 72 cubos de 1 cm³: V=abc. Sumamos volúmenes cuando los interiores no se solapan; las fronteras compartidas no añaden volumen.
Para un prisma V=Bh: B es el área de la base, h la distancia perpendicular entre sus planos. También vale para prismas oblicuos; no sustituya h por una arista lateral. Para una pirámide con iguales B y h, el teorema general da V=Bh/3; la base no necesita ser regular.
Un tercio: comprobarlo en un cubo
Unimos el centro del cubo con sus vértices. Quedan seis pirámides cuadradas congruentes, una por cara. Un cubo de arista 6 cm tiene volumen 216 cm³; cada pirámide, 36 cm³. Su base B=36 cm² y su altura solo 3 cm. El prisma con esa misma base y altura tiene 108 cm³: 36/108=1/3.
Esto demuestra la razón para el modelo del cubo y sus copias semejantes. La partición sola no demuestra todas las bases y alturas; más abajo aparece un cálculo general separado.
Cubo: seis pirámides congruentes
Secciones axiales: área ≠ volumen
Para la rama: áreas de corte iguales
Para un cilindro circular recto V=πr²h; para un cono V=πr²h/3. Con r=4 cm, h=3 cm: 48π≈150,80 cm³ frente a 16π≈50,27 cm³. Los cortes axiales triangular y rectangular tienen áreas 12 y 24 cm². La razón de áreas es 1/2, la de volúmenes 1/3: importan todos los cortes paralelos.
La bola ocupa espacio; la superficie tiene área
Para R>0 son cantidades distintas:
V = (4)/(3)π(R)^(3), S = 4π(R)^(2).
Con R=3 cm, V=36π cm³ y S=36π cm². El mismo número 36π es una coincidencia en estas unidades; área y volumen no son magnitudes homogéneas. El área esférica coincide con el área lateral del cilindro circunscrito de radio R y altura 2R, sin las dos bases.
Rama · Más a fondoOpcional · se puede omitir
Cavalieri: comparar todos los niveles
Aceptamos el principio de Cavalieri: sólidos de igual altura con áreas de sección iguales en cada nivel correspondiente tienen volúmenes iguales. Igualar solo las bases no basta.
A altura z sobre el ecuador, la semibola superior tiene área de sección π(R²−z²), 0≤z≤R. Comparemos un cilindro de radio R y altura R al que quitamos un cono. Su vértice está abajo, en z=0, y su base arriba, en z=R; el radio de su corte es z. La corona restante tiene área πR²−πz² en cada nivel. Así, la semibola tiene volumen πR³−πR³/3=2πR³/3; duplicarlo da la fórmula de la bola. Usamos el volumen del cono ya conocido.
Rama · Con fórmulasOpcional · requiere el concepto de integral
La integral explica los factores
En una pirámide o cono el corte a distancia z del vértice es semejante a la base con escala z/h. Su área es B(z/h)²; por tanto:
V = ((∫)_(0))^(h)B(((z)/(h)))^(2) dz = (Bh)/(3).
Para el área esférica parametrizamos la semicircunferencia: x=R cos t, y=R sin t, 0≤t≤π. El elemento de arco es ds=R dt. La fórmula del área de revolución suma franjas 2πy ds y da S=2πR²∫₀^π sin t dt=4πR². Es una justificación del área, no una medición de la silueta.
Litros y escala
1 cm³=1 mL; 1 L=1 dm³=1000 cm³; 1 m³=1000 L=1 000 000 cm³. Nuestro cilindro contiene unos 0,15080 L; el cono, 0,05027 L. La capacidad usa dimensiones interiores, no el diámetro externo de la carcasa.
Multiplicar todas las longitudes por s>0 multiplica las áreas por s² y los volúmenes por s³. Duplicar el radio cuadruplica el área y multiplica por ocho el volumen. Identifique sólido, altura perpendicular y unidades antes de elegir la fórmula.
Fuentes y límites
Fórmulas y condiciones: Merzliak y coautores, 2019, apartados 22–23, pp.141–149. AMSI: partición del cubo y Cavalieri. OpenStax, Calculus Volume2, §7.2: área de revolución. Unidades: tabla NIST. Números y dibujos propios; el modelo ideal omite el grosor del material.