Progresiones geométricas y porcentajes compuestos

Dos aumentos del 10% convierten unas hipotéticas 100 unidades en 121, no 120. El segundo porcentaje usa 110 como base. Una progresión geométrica conserva un multiplicador, no una diferencia. Usamos porcentajes, potencias y sucesiones.

Repetir una multiplicación

Para un primer término no nulo y una razón constante q no nula:

$b_{n+1}=qb_n,\qquad b_n=b_1q^{n-1}.$

Del primero al término n hay n−1 multiplicaciones. 3,6,12,24 tiene q=2; 8,4,2,1 tiene q=1/2. Con q<0 alternan los signos. Una progresión positiva decrece si 0<q<1.

Duplicación

bₙ=3·2ⁿ⁻¹

Aproximación de la suma

Sₙ=2(1−2⁻ⁿ)

Términos discretos 3·2ⁿ⁻¹ y sumas parciales 1+1/2+…; escalas uniformes y n entero. Abajo, y=2 discontinua es una cota no alcanzada por sumas finitas.

Reconstruir la suma

Sea $S_n=b_1+b_1q+\cdots+b_1q^{n-1}$ . Restamos qSₙ: se cancelan los términos intermedios y queda $(1-q)S_n=b_1(1-q^n)$ .

$S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}\ (q\ne1);\qquad S_n=nb_1\ (q=1).$

3,6,12,24 suma 45. Una serie geométrica no nula converge exactamente si |q|<1: el resto contiene qⁿ, que tiende a cero.

$S_\infty=\frac{b_1}{1-q},\qquad |q|<1.$

Así, 1+1/2+1/4+…=2, aunque toda suma parcial finita es menor que 2. Para q=−1 los términos oscilan; para q=1 no disminuyen. No se aplica la fórmula del límite. OpenStax

Tasa constante no significa incremento constante

Para n períodos iguales, tasa r por período, sin aportaciones, retiradas, comisiones ni redondeo:

$P_n=P_0(1+r)^n,\qquad P_n^{\mathrm{simple}}=P_0(1+nr).$

Con $P_0=100$ , $r=0{,}1$ , n=2 obtenemos 121 frente a 120. El porcentaje simple siempre usa la base inicial. Una reducción del 20% da q=0,8, no −0,2. Es un modelo educativo, no una previsión de ingresos: identifica base y período antes de hallar el multiplicador.