Un apoyo inclinado mide 5 m y su extremo inferior dista 3 m del pie de la vertical. La altura de la estructura no es 5 m. ¿Cómo relacionamos estas medidas y qué recta del suelo será perpendicular al apoyo?
Una recta perpendicular a un plano forma ángulo recto con toda recta del plano que pasa por su pie. Para comprobarlo bastan dos rectas distintas que se cortan en ese pie. Altura, segmento oblicuo y proyección ortogonal forman un triángulo rectángulo. Usamos Pitágoras y rectas y planos.
Dos direcciones determinan la perpendicularidad
Sea l una recta que corta α en H. l⊥α significa que l es perpendicular a toda recta de α por H. No necesitamos comprobar infinitas rectas. Si l⊥a₁ y l⊥a₂, con a₁,a₂ distintas, contenidas en α y secantes en H, entonces l⊥α.
a₁,a₂ no tienen por qué ser perpendiculares entre sí. Importa que den dos direcciones distintas de un plano y que l pase por su punto común. Euclides XI.4, criterio.
Un ángulo recto no basta: dentro del propio plano podemos trazar l⊥a₁ sin que l sea perpendicular al plano que la contiene. Dos rectas de comprobación paralelas tampoco aportan dos direcciones independientes. Aquí hablamos de rectas perpendiculares que se cortan; los ángulos entre rectas alabeadas llegarán después.
Perpendicular, segmento oblicuo y proyección
Sea P exterior a α, PH⊥α,H∈α. PH es el segmento perpendicular desde P y H, su pie. Su longitud es la distancia de P al plano. Esta perpendicular existe; Euclides XI.11 muestra su construcción.
El pie es único. Si H′ fuera otro pie, Pitágoras daría PH′²=PH²+HH′² y PH²=PH′²+HH′². Juntas implican HH′=0, luego H′=H. Por tanto, cualquier PK con K∈α,K≠H es un segmento oblicuo, de pie K.
Al proyectar ortogonalmente sobre α, P pasa a H y K queda fijo. Por eso la proyección de PK es HK. No confundimos HK con PH: PH es la altura y HK está en el plano.
Dos direcciones distintas en α
Sección vertical: 3–4–5
De la proyección al segmento oblicuo
Como PH es perpendicular a todas las rectas del plano por H, PH⊥HK. Así:
(PK)^(2) = (PH)^(2) + (HK)^(2).
En nuestro ejemplo HK=3 m,PK=5 m, luego PH=√(25−9)=4 m. Si la altura es 4 m y la proyección de otro segmento es HL=6 m, su longitud es PL=√(16+36)=√52≈7,211 m. Cada número corresponde a su segmento, no a una distancia de pantalla.
Por qué la perpendicular es la más corta
Para cualquier K≠H del plano, HK>0; por tanto PK²=PH²+HK²>PH² y PK>PH. Esto demuestra que PH es la conexión más corta de P al plano, no solo una conexión posible.
Los segmentos oblicuos desde el mismo punto al mismo plano comparten altura PH. Proyecciones iguales dan segmentos iguales y viceversa. Una proyección mayor corresponde a un segmento oblicuo mayor. Sin altura común no podemos comparar así segmentos desde puntos distintos o hasta planos distintos.
Teorema de las tres perpendiculares
Sea a una recta de α por K, y HK la proyección no nula del segmento oblicuo PK. Entonces a⊥HK implica a⊥PK. También vale el recíproco: a⊥PK implica a⊥HK.
En el tercer dibujo a pasa por el extremo inferior K del apoyo, perpendicularmente a HK. Así forma ángulo recto con el propio segmento oblicuo, aunque no se vea como 90° en la vista plana. Si omitimos a⊂α o elegimos otra proyección, la conclusión no está justificada.
En nuestro modelo, P dista 4 m del plano, pero 5 m de a: PK es la perpendicular a a. Para otro X de a, PX²=PK²+KX², por lo que no hay conexión más corta. La distancia al plano y la distancia a una recta de él son problemas distintos.
Demostración mediante distanciasOpcional · puedes omitirlo
Por qué valen ambos sentidos
Tomamos U,V en a, a lados opuestos de K, con KU=KV. En α, HK⊥a equivale a HU=HV: es la propiedad de la mediatriz. La altura PH da PU²=PH²+HU² y PV²=PH²+HV². Así HU=HV si y solo si PU=PV.
En PUV, K es el punto medio de UV. Por tanto PU=PV equivale a que la mediana PK sea también altura, es decir, PK⊥a. La cadena demuestra el teorema y su recíproco. HK≠0 es esencial: con K=H ya tenemos la perpendicular y la proyección nula no define dirección.
En un problema espacial localizamos primero H, después HK y finalmente PK y la recta a. Así convertimos un ángulo de visión difícil en triángulos rectángulos justificados. Comprobar el dibujo es comprobar el modelo, no medir la perspectiva.