En un vértice del cubo se juntan tres cuadrados; en uno del tetraedro regular, tres triángulos. ¿Son iguales esos ángulos porque hay igual número de caras? Esta lección adicional distingue ángulos de cara y diedros y explica los cinco sólidos regulares convexos.
Requisitos: ángulos espaciales, secciones, coordenadas espaciales, cubos y prismas.
Varias caras forman un ángulo
El ángulo poliedro en un vértice convexo es la región espacial entre las caras incidentes, incluida su frontera. Del vértice parten las semirrectas de arista; dos consecutivas delimitan un ángulo plano de cara. Tres caras forman un triedro; sus tres semirrectas no son coplanarias.
En el cubo hay tres ángulos planos de 90°, suma 270°. En el tetraedro regular hay tres de 60°, suma 180°. No son el valor de un solo diedro. Un diedro mide la apertura entre dos caras transversalmente a su arista común, como en G026.
Cada ángulo plano de un triedro convexo no degenerado es menor que la suma de los otros dos; los tres suman menos de 360°. Un vértice convexo con más caras también necesita suma menor que 360°: una vuelta plana completa no crea un vértice espacial convexo.
Tres caras: ángulos planos distintos
Tetraedro, cubo, octaedro: p y q
Dos lugares geométricos espaciales
Por qué cinco sólidos regulares
Aquí un poliedro regular convexo tiene caras poligonales regulares congruentes e igual disposición en cada vértice. Si cada cara tiene p lados y concurren q caras, p,q≥3, cada ángulo de cara mide 180°(p−2)/p:
q(180(p − 2))/(p) < 360, (p − 2)(q − 2) < 4.
Solo quedan estas parejas enteras:
| Sólido | p | q | Suma angular en el vértice |
|---|---|---|---|
| Tetraedro regular | 3 | 3 | 180° |
| Cubo | 4 | 3 | 270° |
| Octaedro regular | 3 | 4 | 240° |
| Dodecaedro regular | 5 | 3 | 324° |
| Icosaedro regular | 3 | 5 | 300° |
La desigualdad descarta otras posibilidades: es necesaria. Construcciones separadas confirman la existencia de los cinco; la desigualdad sola no los construye. La clasificación se limita a poliedros regulares convexos del espacio euclídeo tridimensional, no a estrellados ni mallas arbitrarias.
La simetría conserva todo el sólido
El cubo se conserva al girar 90° alrededor de los centros de caras opuestas y 120° alrededor de una diagonal espacial. Para vértices (±1;±1;±1), las transformaciones (x;y;z)→(−y;x;z) y (x;y;z)→(y;z;x) llevan vértices a vértices y conservan distancias y aristas.
Una silueta fotográfica parecida no basta. La simetría espacial conserva todos los puntos, incluido el lado oculto; una proyección puede esconder diferencias.
Lugares geométricos espaciales
Un lugar geométrico incluye todos y solo los puntos con una propiedad. En el espacio puede ser un plano o superficie:
- Los equidistantes de dos puntos distintos A,B forman el plano perpendicular a AB por su punto medio. Para A(−2;0;0), B(2;0;0), igualar distancias cuadradas se reduce a x=0 y verifica ambos sentidos.
- Los equidistantes de tres puntos no colineales forman la recta por su circuncentro perpendicular al plano del triángulo: intersección de dos planos mediadores.
- Los situados a distancia a>0 de z=0 forman dos planos z=±a; para a=0 queda uno.
- Los equidistantes de planos paralelos z=0 y z=4 forman z=2, pues |z|=|z−4|.
- Los equidistantes de planos secantes x=0 e y=0 forman dos planos bisectores x=y y x=−y: |x|=|y|.
- Los situados a distancia a>0 del eje z forman la superficie cilíndrica infinita x²+y²=a². z es libre; no es un cilindro relleno de altura finita. Para a=0 queda el eje.
Las reglas anteriores de distancias permiten reconocer figuras que no tienen por qué ser poliedros.
Rama · Más allá del cursoOpcional · solo una breve mirada futura
Perspectiva: un cubo de cuatro dimensiones
Un cuadrado usa dos coordenadas entre 0 y 1; un cubo, tres. Con cuatro tomamos 0≤xᵢ≤1, i=1,2,3,4. En cada vértice las coordenadas valen 0 o 1, dando 2⁴=16 vértices. Es el cubo cuatridimensional o teseracto. Su proyección tridimensional no es un sexto sólido regular tridimensional; pierde información, como un dibujo plano del cubo. La geometría completa de cuatro dimensiones queda fuera de esta lección.
Al comparar estructuras, identifique caras, ángulos planos y diedros y clase de sólidos. Para un lugar geométrico formule la propiedad y compruebe ambos sentidos: el dibujo muestra un caso; la condición define toda la figura.
Fuentes y límites
Merzliak y coautores, geometría avanzada de grado10, apartado17, PDF176–178: ángulos poliedros; Nelin, grado10, §17, PDF160: lugares espaciales. Euclides, Elementos XIII.18, nota y Cambridge NRICH: cinco sólidos y restricciones angulares. John Baez, UC Riverside, 26 agosto2019: dieciséis vértices del cubo4D; el conteo por coordenadas es propio. Comprobaciones de simetrías y ejemplos propios; no se afirman dimensiones físicas adicionales.