Tras tres sorteos favorables seguidos, ¿debe el próximo compensarlos? La probabilidad define el modelo de un ensayo; la frecuencia describe una serie obtenida. Una racha corta no crea una deuda del azar. Usamos desigualdades y conteo.
Empezar por los resultados
Un experimento es un procedimiento de resultado desconocido de antemano; un resultado elemental es un desenlace posible y un suceso un conjunto de resultados. El modelo elige una de cuatro tarjetas con iguales posibilidades:
Ω = {A,B,C,D}, E = {A,B}, P(E) = (2)/(4) = (1)/(2).
«Favorables / todos» funciona en un espacio finito de resultados equiprobables. Sin esa condición contar no determina la probabilidad: si las tarjetas tienen distintas posibilidades, sumamos sus pesos. OpenStax
El suceso imposible ∅ tiene probabilidad 0 y el seguro Ω, 1. La base es no negatividad, probabilidad total 1 y suma de probabilidades para sucesos disjuntos por pares. Los axiomas generales también exigen suma para familias numerables, cuyos miembros pueden enumerarse.
P(Ω) = 1, P(∅) = 0, 0 ≤ P(E) ≤ 1.
E∪F significa al menos uno; E∩F, ambos; el complemento significa no E, con probabilidad 1−P(E). Restamos la parte común para no contarla dos veces:
P(E∪F) = P(E) + P(F) − P(E∩F).
F = {B,C}: P(E∪F) = (1)/(2) + (1)/(2) − (1)/(4) = (3)/(4).
Qué muestra una serie
Si E ocurre mₙ veces en n ensayos, la frecuencia relativa es:
ν_(n) = (m_(n))/(n).
La figura usa la secuencia construida A,B,A,C,A,D,C,B,D,C,A,D con reposición. Los tres primeros resultados pertenecen a E; seis de los doce también. Es una ilustración inventada, no un registro de mediciones.
Resultados equiprobables
Ω={A,B,C,D}; E={A,B}
Frecuencia acumulada de E
A B A C A D C B D C A D; -- p=1/2
Independencia significa aquí que los resultados anteriores no cambian la probabilidad del nuevo ensayo. En ensayos independientes con la misma probabilidad p, la ley de grandes números dice: la probabilidad de que la frecuencia difiera de p en valor absoluto más que cualquier umbral positivo fijado tiende a cero al crecer n. No garantiza acercamiento monótono ni equilibrio en series cortas. En el modelo independiente, reponer la tarjeta y mezclar uniformemente conserva la siguiente probabilidad 1/2 incluso tras tres éxitos. Ley de grandes números, MIT.
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Áreas y Montecarlo
Si elegimos un punto uniformemente en un segmento, la probabilidad de un subsegmento es su fracción de longitud; en una región uniforme, la fracción de área. Uniformidad significa igual probabilidad para igual longitud o área, no probabilidades positivas iguales para cada punto. Un punto puede ser posible y tener probabilidad 0: «P=0 implica imposible» no es universal. Modelo uniforme continuo.
En el cuadrado 0≤x,y≤1, el triángulo x+y≤1 ocupa media área: la diagonal divide el cuadrado en dos partes iguales. Montecarlo estima la fracción como k/N generando N puntos independientes uniformes y contando k dentro. La estimación fluctúa; no sustituye la demostración geométrica de 1/2.
Compara frecuencia y modelo, pero revisa antes equiprobabilidad, reposición e independencia. De otro modo una aritmética exacta puede describir otro experimento.