La ecuación como equilibrio: hallar la incógnita sin perder soluciones

Tres artículos iguales y un envío de 40 grivnas cuestan en total 250 grivnas. ¿Cuánto cuesta cada artículo? Sea $x$ su precio en grivnas. La cuenta da $3x+40=250$ , de donde $x=70$ . Para llegar a la respuesta cambiamos ambos lados por igual y comprobamos si cada paso se puede invertir.

Una variable nombra la incógnita; las restricciones del dominio determinan dónde tiene sentido el cálculo. Aquí el álgebra admite todo $x$ real; el contexto de un precio exige un valor no negativo.

Una solución hace verdadera la igualdad

Una ecuación es una igualdad con incógnitas. Una raíz o solución de una ecuación con una incógnita es un número permitido que, al sustituirlo, hace verdadera la igualdad. En nuestra cuenta $3\cdot70+40=250$ ; 60 no sirve, pues da 220.

Las ecuaciones equivalentes tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. Conservarlo exige poder volver atrás, además de obtener una nueva igualdad a partir de la anterior.

Restamos 40 a ambos lados: $3x=210$ . Dividimos ambos entre el número no nulo 3: $x=70$ . Las dos operaciones se invierten multiplicando por 3 y sumando 40; ninguna solución se pierde ni se añade.

Sumar una expresión definida: ↔ en el mismo dominio
Dividir por una expresión: ↔ solo si es ≠ 0
Elevar ambos lados al cuadrado: ⇒ comprobar candidatos

La misma operación a ambos lados conserva la igualdad. La balanza representa una cuenta en grivnas, no un modelo de masas.

Pasar un término abrevia una operación

En $5x-8=2x+13$ , restamos $2x$ y sumamos 8 a ambos lados. Obtenemos $3x=21$ , es decir, $x=7$ . Cambiar el signo al pasar un término no es magia: abrevia sumar la expresión opuesta a ambos lados.

Sumar o restar la misma expresión definida conserva las soluciones en el dominio original. Multiplicar o dividir por una expresión es equivalente solo donde está definida y no vale cero. Un número fijo no nulo cumple esta condición automáticamente. Propiedades de igualdad, OpenStax §2.2.

Tres resultados para ax = b

Tras simplificar, los problemas lineales se reducen a $ax=b$ , donde $a,b$ son números dados. Si $a\ne0$ , hay una única solución: $x=b/a$ .

Pero $a=0$ requiere otro análisis. $0x=0$ es verdadera para todo $x$ real. $0x=5$ es falsa para todos, así que no tiene solución. Por ejemplo, $2(x+1)=2x+2$ se reduce a $0=0$ , mientras que $2(x+1)=2x+3$ se reduce a $0=1$ . Dividir cero entre cero no permite hallar $x$ .

Soluciones perdidas y extrañas

$x(x-2)=0$ tiene soluciones 0 y 2. Dividir entre $x$ sin condiciones deja $x-2=0$ y pierde 0: justo allí estaba prohibida la división. Es más seguro usar el producto nulo o separar $x=0$ y $x\ne0$ .

Elevar al cuadrado puede hacer lo contrario. De $x=-2$ se obtiene $x^2=4$ , pero esta última admite también $x=2$ . Es una ecuación consecuencia: conserva todas las soluciones anteriores, pero puede añadir otras, extrañas a la ecuación original. $\Rightarrow$ señala un sentido; $\Leftrightarrow$ , ambos.

Rama · ComprobaciónComprobar candidatos es necesario, pero no siempre suficiente.

Lo que una sustitución no puede reparar

Sustituir 2 en $x=-2$ rechaza la solución extraña. Pero si dividir entre $x$ nos dejó solo 2 para $x(x-2)=0$ , comprobarla la confirma sin revelar el 0 perdido. La respuesta completa depende de transformaciones válidas o de separar todos los casos, no solo de comprobar lo encontrado.

Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones permitidas o demostrar que no existen. En la cuenta, 70 grivnas recupera el total correcto; en problemas más complejos también hay que controlar cada paso irreversible.