Factorizar: ver la estructura de una expresión

La expresión $2x^3-8x$ oculta qué valores de $x$ la hacen cero. Escrita como $2x(x-2)(x+2)$ , muestra tres posibilidades: $0$ , $2$ , $-2$ . Su valor no ha cambiado; la nueva forma permite ver una propiedad con más facilidad.

Esto es factorizar: sustituir un polinomio por un producto idénticamente igual. Recorre al revés la multiplicación de polinomios y usa los productos notables.

Buscar primero lo común

Ambos términos de $2x^3-8x$ contienen el factor $2x$ . Leemos la propiedad distributiva al revés:

2x^3-8x=2x(x^2-4).

Dentro del paréntesis queda lo que debe multiplicar a $2x$ para recuperar cada término original. También vale para $x=0$ : reescribimos un polinomio mediante una ley de multiplicación; no dividimos una ecuación entre una incógnita $x$ .

Ahora $x^2-4$ es una diferencia de cuadrados, que da $2x(x-2)(x+2)$ . A menudo hay que combinar métodos.

Las tres filas son el mismo polinomio. Las flechas inferiores conectan el cero de cada factor variable con x; la constante 2 nunca es cero.

En $6a^2b+9ab^2$ , un factor común útil es $3ab$ : los coeficientes comparten el divisor 3 y ambos términos contienen al menos una $a$ y una $b$ . Obtenemos $3ab(2a+3b)$ . Multiplicar de nuevo recupera la suma original y comprueba el resultado sin depender de nuestra conjetura.

La agrupación revela otro factor común

En $xy+3x+2y+6$ no hay un factor variable común a los cuatro términos. Pero dos parejas generan paréntesis iguales:

xy+3x+2y+6=x(y+3)+2(y+3).

El factor común es ahora toda la expresión $y+3$ , y resulta $(x+2)(y+3)$ . Agrupar ayuda si el primer paso produce un paréntesis repetido; elegir grupos al azar no lo garantiza.

También cuenta el signo: $a(u-v)+b(v-u)=a(u-v)-b(u-v)=(a-b)(u-v)$ . Las expresiones $u-v$ y $v-u$ son opuestas, no iguales. Métodos y comprobación, OpenStax §1.5.

Por qué el producto revela ceros

Un cero de una expresión es un valor de la variable que hace que la expresión valga cero. Un producto de números reales es cero si y solo si al menos un factor es cero. Si todos son distintos de cero, el producto también lo es.

En $2x(x-2)(x+2)$ , la constante 2 nunca se anula. Quedan $x=0$ , $x-2=0$ o $x+2=0$ : respectivamente $x=0,2,-2$ . Sustituirlos en la expresión inicial confirma los tres. Para $x=1$ , ambas formas dan −6, pero una comprobación no demuestra la identidad para todo $x$ ; eso lo hace la cadena de transformaciones válidas.

El trinomio cuadrático cuando conocemos sus raíces

Para $ax^2+bx+c$ , con $a\ne0$ , la fórmula cuadrática y Vieta dan un método general. Si existen raíces reales $x_1,x_2$ (repetimos la doble), entonces $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Hay que conservar el coeficiente principal $a$ .

Por ejemplo, $2x^2-14x+20$ tiene raíces 2 y 5, y resulta $2(x-2)(x-5)$ . Su suma 7 produce el coeficiente −14; su producto 10, junto con el factor 2, da la constante 20. Sin raíces reales no hay factorización en factores lineales reales. El método complementa la agrupación cuando cuesta reconocer una pareja adecuada.

Rama · Límite del métodoQué significa exactamente «no se puede factorizar».

Por qué no siempre hay factores lineales reales

Para todo $x$ real, $x^2+1\ge1$ . Ningún número real hace cero este polinomio. Un producto de dos factores lineales reales de grado positivo tendría necesariamente un cero, así que esa factorización es imposible. Por supuesto, $1\cdot(x^2+1)$ es posible; aquí buscamos factores no triviales de menor grado. La conclusión depende de los coeficientes permitidos.

Elegimos la forma según el propósito. La suma facilita sumar; el producto revela ceros y después permitirá simplificar fracciones. Buscamos un factor común, reconocemos una identidad o agrupación útil, repetimos si hace falta y comprobamos desarrollando.