¿Por qué (a + b)^(2) no es igual a (a)^(2) + (b)^(2)? Al ampliar ambos lados de una baldosa cuadrada añadimos dos franjas, además del cuadrado de la esquina. Esas franjas aportan el término central 2ab. Podemos ver la estructura y recuperarla sin dibujo mediante la multiplicación de polinomios.
Cuatro partes del cuadrado de una suma
Tomemos un cuadrado de lado a + b, con a > 0 y b > 0. Al dividir cada lado aparecen un cuadrado de área (a)^(2), dos franjas de área ab y un cuadrado pequeño de área (b)^(2). Sumar solo los cuadrados dejaría las franjas sin contar.
El álgebra reproduce la construcción:
(a + b)^(2) = (a + b)(a + b) = (a)^(2) + ab + ba + (b)^(2) = (a)^(2) + 2ab + (b)^(2).
El dibujo usa a = 3, b = 2: 9 + 6 + 6 + 4 = 25, igual que (5)^(2). La propiedad distributiva demuestra la identidad para cualesquiera números reales a,b; las áreas ordinarias necesitan longitudes positivas. Deducción de cuadrados, OpenStax §1.4.
El cuadrado de una diferencia cambia el signo central
Sustituimos b por − b. El cuadrado ( − b)^(2) = (b)^(2), pero el producto mixto cambia de signo:
(a − b)^(2) = (a)^(2) − 2ab + (b)^(2).
Así, (99)^(2) = (100 − 1)^(2) = 10000 − 200 + 1 = 9801. Restar únicamente (1)^(2) da 9999: corresponde a otra expresión, (100)^(2) − (1)^(2).
Una letra puede representar toda una expresión: (2x − 3)^(2) = 4(x)^(2) − 12x + 9. El primer cuadrado es (2x)^(2) y el término central es − 2 ⋅ 2x ⋅ 3. Los paréntesis evitan perder el coeficiente o el signo.
La diferencia de cuadrados cancela términos mixtos
Si un binomio lleva un más y el otro un menos, las aportaciones mixtas son opuestas:
(a + b)(a − b) = (a)^(2) − ab + ab − (b)^(2) = (a)^(2) − (b)^(2).
Es una diferencia de cuadrados, distinta del cuadrado de una diferencia. Por ejemplo, 103 ⋅ 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991. También podemos leerla al revés: (x)^(2) − 25 = (x − 5)(x + 5). El producto revela factores ocultos en la suma.
Cubos: comprobar los signos
Multipliquemos (a − b) por (a)^(2) + ab + (b)^(2). Aparecen seis términos: (a)^(3) + (a)^(2)b + a(b)^(2) − (a)^(2)b − a(b)^(2) − (b)^(3). Los cuatro centrales se cancelan, de modo que:
(a)^(3) − (b)^(3) = (a − b)((a)^(2) + ab + (b)^(2)).
Al sustituir b por − b obtenemos la suma de cubos:
(a)^(3) + (b)^(3) = (a + b)((a)^(2) − ab + (b)^(2)).
Por ejemplo, (x)^(3) − 8 = (x − 2)((x)^(2) + 2x + 4) y (x)^(3) + 8 = (x + 2)((x)^(2) − 2x + 4). El signo de ab permite cancelar los términos centrales. Las dos identidades de cubos, OpenStax §1.5.
Rama · Un paso másUna multiplicación adicional; las cinco identidades principales ya están deducidas.
El cubo de un binomio
Multiplicamos el cuadrado de la suma por a + b. El término (a)^(2)b aparece una vez de (a)^(2) ⋅ b y dos de 2ab ⋅ a, dando 3(a)^(2)b. De igual modo reunimos 3a(b)^(2):
(a + b)^(3) = (a)^(3) + 3(a)^(2)b + 3a(b)^(2) + (b)^(3).
Al sustituir − b resulta (a − b)^(3) = (a)^(3) − 3(a)^(2)b + 3a(b)^(2) − (b)^(3). No equivale a (a)^(3) − (b)^(3): entre los cubos extremos quedan otras dos aportaciones.
Los productos notables ahorran escritura porque ya se han contado todas las parejas de términos. Si olvidamos una fórmula, desarrollar los paréntesis permite reconstruirla. Una sustitución numérica sencilla puede detectar un signo erróneo, aunque no sustituye una demostración.