Unimos cuatro listones de un metro mediante bisagras móviles. El dibujo muestra un cuadrado. ¿Cuatro longitudes iguales garantizan también los ángulos correctos? No: podemos inclinar el marco conservando todas las longitudes.
La geometría separa los datos de lo que debemos demostrar. Una definición fija el significado de una palabra, un axioma establece una regla inicial del modelo y una demostración deduce una conclusión nueva mediante las reglas admitidas. Medir y dibujar ayudan a investigar, pero no sustituyen esa cadena.
Primero elegimos el modelo
Un punto no tiene tamaño, una recta no tiene grosor y se prolonga indefinidamente en ambos sentidos, y un plano no tiene grosor ni borde. Son objetos ideales. Un punto de lápiz y el borde del papel solo los representan. La parte de una recta comprendida entre dos puntos, incluidos sus extremos, es un segmento; su longitud es un número con una unidad elegida.
Para un marco plano basta un plano. Una caja requiere considerar el espacio: longitud, anchura y altura. Su imagen en la pantalla vuelve a ser plana; la inclinación de una arista dibujada no determina por sí sola el ángulo real en el espacio. En este curso usamos modelos euclídeos. Sus conclusiones no pueden trasladarse sin más a una superficie curva: hay que comprobar las condiciones.
Las unidades también forman parte de las condiciones. 1 m y 100 cm expresan la misma longitud; el número 100 sin unidad no indica el tamaño del marco.
Tres funciones diferentes de un enunciado
Una definición establece qué objetos reciben un nombre. Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. Un ángulo recto mide 90°, un cuarto de vuelta completa. La igualdad de los lados no permite eliminar la condición sobre los ángulos. Definición de cuadrado de Euclides.
Un axioma se acepta como regla inicial del sistema elegido. Por ejemplo, por dos puntos distintos pasa exactamente una recta. No es un axioma porque hayamos colocado una regla muchas veces: es una suposición inicial sobre la que se apoya el razonamiento posterior. Primer postulado y explicación editorial.
Un teorema es un enunciado que se demuestra. En «si …, entonces …», la primera parte es la hipótesis y la segunda la conclusión. La demostración explica por qué la conclusión se sigue necesariamente de la hipótesis, las definiciones, los axiomas y los resultados ya demostrados.
Qué les falta a los cuatro listones
La hipótesis «es un cuadrado» da la conclusión «sus cuatro lados son iguales». La igualdad de los lados es, por tanto, necesaria: sin ella no hay cuadrado. Pero no es suficiente: puede cumplirse en una figura que no sea un cuadrado.
Cuadrado
Mismas longitudes, otro ángulo
En el esquema derecho cada lado también mide 1 m, pero un ángulo vale 60° en lugar de 90°. Es un contraejemplo de «si cuatro lados son iguales, la figura es un cuadrado». Un solo ejemplo así refuta una afirmación sobre todas las figuras. Cien marcos cuadrados no la demostrarían.
Al intercambiar hipótesis y conclusión obtenemos el enunciado recíproco. Debe comprobarse por separado. Una condición suficiente garantiza la conclusión: verificar todos los requisitos de la definición de cuadrado es suficiente. No añadamos un ángulo recto a los datos solo porque «se ve» en el boceto.
Una demostración breve sin dibujo
Datos: M está entre A y B en una misma recta, AM=1 m y MB=1 m. Buscamos AB. Por la regla de adición de longitudes de segmentos consecutivos:
AB = AM + MB = 1 m + 1 m = 2 m.
«Entre A y B» permite sumar precisamente esas partes. La razón de la respuesta es la posición de los puntos y la regla de longitudes, no el número de píxeles entre las letras. Debemos comparar y sumar magnitudes del mismo tipo con unidades compatibles. Nociones comunes de Euclides.
Qué nos dice la cinta métrica
En la práctica, «1,00 m» puede ser una medida redondeada. Si se especifica aparte un error máximo de 0,01 m, la longitud real está entre 0,99 y 1,01 m. Dos lecturas idénticas no demuestran entonces una igualdad exacta. Es un límite de error dado, no una probabilidad de pertenecer al intervalo.
Antes de sacar una conclusión geométrica, preguntemos qué se ha dado exactamente, qué reglas del modelo se han usado y si el aspecto del dibujo ha introducido una condición oculta. Para el marco la respuesta es concreta: listones iguales permiten ángulos distintos; un cuadrado requiere también condiciones sobre los ángulos.