Чотири планки завдовжки по метру з’єднали рухомими шарнірами. На кресленні вийшов квадрат. Чи гарантують чотири однакові довжини, що кути теж правильні? Ні: рамку можна перекосити, зберігши всі довжини.
Геометрія відділяє те, що задано, від того, що треба довести. Означення встановлює зміст слова, аксіома задає початкове правило моделі, а доведення виводить новий висновок із дозволених правил. Вимірювання і переконливий рисунок допомагають досліджувати, але не замінюють цього ланцюжка.
Спочатку обираємо модель
Точка не має розміру, пряма не має товщини й необмежена в обидва боки, площина не має товщини та простягається без краю. Це ідеальні об’єкти. Олівцева крапка й край аркуша тільки зображають їх. Частина прямої між двома точками разом із кінцями — відрізок; його довжина є числом із вибраною одиницею.
Для плоскої рамки достатньо площини. Для коробки потрібно врахувати простір: довжину, ширину й висоту. Малюнок коробки на екрані знову плоский; нахил намальованого ребра сам по собі не визначає справжнього кута в просторі. У цьому курсі працюємо з евклідовими моделями. Переносити їхні висновки на криву поверхню без перевірки умов не можна.
Одиниця теж належить до умов. Записи 1 м і 100 см означають ту саму довжину; просто число 100 без одиниці не дає розміру рамки.
Три різні ролі твердження
Означення домовляється, які об’єкти називатимемо певним словом. Квадрат — чотирикутник із чотирма рівними сторонами й чотирма прямими кутами. Прямий кут має міру 90°, тобто чверть повного оберту. Рівність сторін не дозволяє викреслити вимогу про кути. Евклід, означення квадрата.
Аксіому приймаємо за початкове правило обраної системи. Наприклад, через дві різні точки проходить рівно одна пряма. Вона не стає аксіомою тому, що ми багато разів прикладали лінійку: це вихідне припущення, на якому будуються подальші міркування. Перший постулат і редакторське пояснення.
Теорема — твердження, яке доводять. У формі «якщо …, то …» перша частина є умовою, друга — висновком. Доведення пояснює, чому висновок обов’язково випливає з умови, означень, аксіом і раніше доведених результатів.
Чого бракує чотирьом планкам
Умова «це квадрат» дає висновок «усі чотири сторони рівні». Отже, рівність сторін необхідна для квадрата: без неї квадрата немає. Проте вона недостатня: може виконуватися, коли квадратом фігура не є.
Квадрат
Ті самі довжини, інший кут
На правій схемі кожна сторона теж має довжину 1 м, але один кут дорівнює 60°, а не 90°. Це контрприклад до твердження «якщо чотири сторони рівні, то це квадрат». Одного такого прикладу досить, щоб спростувати твердження про всі фігури. Натомість сотня квадратних рамок його не довела б.
Ми поміняли умову й висновок місцями та отримали обернене твердження. Воно потребує окремої перевірки. Достатня умова гарантує висновок: якщо перевірено всі вимоги означення квадрата, цього достатньо. Не варто додавати до даних прямий кут лише тому, що він «видно» на ескізі.
Маленьке доведення без малюнка
Дано: точка M лежить між A і B на одній прямій, AM=1 м та MB=1 м. Треба встановити AB. За правилом додавання довжин послідовних відрізків:
AB = AM + MB = 1 m + 1 m = 2 m.
Слова «між A і B» забезпечують саме додавання цих частин. Причина відповіді — розташування точок і правило довжин, а не число пікселів між літерами. Порівнювати й додавати слід величини одного виду в узгоджених одиницях. Евклід, загальні поняття.
Що повідомляє рулетка
У реальній роботі «1,00 м» може бути округленим виміром. Якщо окремо задано максимальну похибку 0,01 м, справжня довжина належить проміжку від 0,99 до 1,01 м. Дві однакові позначки на рулетці тоді ще не доводять точної рівності. Це задана межа похибки, а не ймовірність потрапляння в проміжок.
Перед геометричним висновком запитайте: що задано точно, які правила моделі використано і чи не підмінив я умову виглядом рисунка? Для рамки відповідь конкретна: однакові планки дозволяють різні кути; квадрат потребує ще й умов про кути.