Три лінії на кресленні майже сходяться в одній точці. Це похибка рисунка чи точна властивість? У цьому додатковому уроці чотири теореми перевіряють різні речі: спільний перетин, одну пряму, довжини в колі та розташування центрів. Для основного маршруту курсу цей огляд не є передумовою.

Передумови: медіани й висоти, вписані чотирикутники, подібність, площі.

Чева: три чевіани мають спільну точку

Нехай ABC — невироджений трикутник, D, E, F лежать усередині сторін BC, CA, AB відповідно. Прямі AD, BE, CF перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли:

(BD)/(DC) ⋅ (CE)/(EA) ⋅ (AF)/(FB) = 1.

Тут усі відношення — додатні довжини. Наприклад, BD/DC=2 і CE/EA=2 вимагають AF/FB=1/4, а не 1/2. Для A(0;0), B(9;0), C(0;6) обираємо D(3;4), E(0;2), F(9/5;0). Усі три прямі проходять через P(9/7;12/7).

Чому з’являється добуток? Якщо P — спільна точка, відношення BD/DC дорівнює відношенню площ PAB/PCA, CE/EA — PBC/PAB, AF/FB — PCA/PBC. Це випливає з однакових висот у відповідних трикутниках. Три дроби скорочуються до 1. Для оберненого твердження перетнемо перші дві чевіани: потрібне відношення визначає єдину внутрішню точку F на AB, тож третя пряма мусить пройти через P.

Чева: внутрішні точки й добуток +1

ABCDEFP

Менелай: продовження сторони, добуток −1

ABCDEF

Птолемей: прямокутник 8×6 на колі

ABCD86

Ейлер: O, G, H на y=2

ABCHOG
Усі чотири панелі — власні точні плоскі координатні рисунки. Перша: A(0;0), B(9;0), C(0;6), D(3;4), E(0;2), F(9/5;0), P(9/7;12/7); масштаб 40 px/од. Друга зберігає A–E, але F(−3;0), масштаб 26 px/од; акцент — спільна пряма DEF. Третя — прямокутник 8×6 з діагоналями 10, масштаб 32 px/од. Четверта — інший трикутник A(0;0), B(8;0), C(2;6), масштаб 40 px/од; пунктиром показано одну медіану та дві висоти, акцентом — пряму центрів O(4;2), G(10/3;2), H(2;2). Схеми ілюструють умови; загальні теореми не доводяться збігом пікселів.

Менелай: три точки лежать на одній прямій

Тепер D, E, F можуть лежати на прямих BC, CA, AB, але не у вершинах. Введемо орієнтований відрізок [UV]: різницю координат V−U на відповідній прямій, з напрямами B→C, C→A, A→B. Зміна місць U і V змінює знак. Відношення внутрішнього поділу додатне, зовнішнього — від’ємне.

Критерій Менелая: D,E,F колінеарні тоді й лише тоді, коли ([BD]/[DC])·([CE]/[EA])·([AF]/[FB])=−1. У попередньому трикутнику залишимо D(3;4), E(0;2), але візьмемо F(−3;0). Пряма DE справді має рівняння y=2x/3+2 і проходить через F. Добуток 2·2·(−1/4)=−1.

Звичайні довжини дали б тут +1: знак зберігає інформацію про продовження сторони. Не змішуйте дві домовленості. Чеву вище свідомо сформульовано для внутрішніх точок; у загальному орієнтованому варіанті добуток +1 допускає також три паралельні чевіани, а не обов’язково скінченну спільну точку.

Птолемей: діагоналі та протилежні сторони

Для опуклого вписаного чотирикутника з різними вершинами A,B,C,D, названими в порядку обходу кола:

AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ DA.

У нашого прямокутника 8×6 діагоналі по 10: 10·10=8·8+6·6. Це узгоджується з Піфагором. Прямокутник вписаний у коло, але довільний чотирикутник може не бути вписаним; порядок букв і умову кола пропускати не можна. Ця рівність перевіряє довжини, не конкурентність трьох прямих.

Пряма Ейлера: три центри

У нерівносторонньому трикутнику центр описаного кола O, центроїд G та ортоцентр H лежать на одній прямій, причому OG:GH=1:2. У рівносторонньому всі три збігаються, тому єдина пряма ними не визначена. Центр вписаного кола в загальному випадку до цього переліку не належить.

Для A(0;0), B(8;0), C(2;6) маємо O(4;2), G(10/3;2), H(2;2). Вони лежать на y=2; OG=2/3, GH=4/3. Координати перевіряють наш приклад, а загальна теорема потребує доказу.

Відгалуження · З формуламиНеобов’язково · передумова: вектори G021

Короткий векторний доказ

Візьмемо O за початок. Вектори вершин a,b,c мають однакову довжину R. Для точки з вектором h=a+b+c маємо (h−a)·(b−c)=(b+c)·(b−c)=|b|²−|c|²=0. Отже, вона лежить на висоті з A; так само — на інших, тому це H. Вектор центроїда g=(a+b+c)/3, звідси h=3g: G лежить між O та H і ділить OH у відношенні 1:2. Для ненульових відстаней виключаємо рівносторонній випадок. Позначення h тут означає вектор точки, не висоту.

Спершу визначте, що саме треба встановити, потім перевірте умови теореми. Майже правильний рисунок не замінює рівності й не доводить спільного перетину.

Джерела й межі

Книжкові виклади: Мерзляк і Якір, «Геометрія, 8 клас», додаткові матеріали, друковані с.116–119,126–127,199–200; точні PDF-сторінки зафіксовано в research. Незалежні виклади: Wayne Bishop, Modern Geometry, §4.3 для Чеви й Менелая; University of St Andrews для Птолемея; AMSI, Euler line для центрів. Приклади, координатні рисунки та перевірки власні; векторне відгалуження використовує G021.