У мішку 3 руді та 2 світлі кулі. Якщо першою витягнули руду, чи змінюється шанс другої рудої? Умовна ймовірність перераховує шанси після відомої події. Повернення кулі визначає, чи змінився склад мішка. Потрібна модель ймовірності.
Позначимо A — «перша руда», B — «друга руда». Кожну кулю вважаємо окремою, а вибір із наявних — рівномірним. Вертикальна риска читається «за умови»:
P(B∣A) = (P(A∩B))/(P(A)) (P(A) > 0).
Знаменник задає новий простір: серед усіх випадків A яка частка належить також B? При P(A)=0 це означення не застосовуємо. Звідси правило множення:
P(A∩B) = P(A)P(B∣A).
З поверненням
Повернули першу кулю й знову рівномірно перемішали: склад незмінний, P(B|A)=3/5=P(B). Тому:
P(A∩B) = (3)/(5) ⋅ (3)/(5) = (9)/(25).
Це модель незалежних витягувань; повернення без належного перемішування саме по собі не доводить незалежності реального механізму.
Без повернення
Після A лишаються 2 руді та 2 світлі кулі. Новий шанс 2/4:
P(B∣A) = (2)/(4) = (1)/(2), P(A∩B) = (3)/(5) ⋅ (1)/(2) = (3)/(10).
Два витягування без повернення
Не треба множити 3/5 на 3/5, коли умова змінила другий множник. OpenStax
Та сама задача в таблиці
Без повернення є 5·4=20 рівноможливих упорядкованих пар різних позначених куль. Таблиця рахує можливі результати, а не 20 проведених дослідів:
| Перша / друга | Руда | Світла | Разом |
|---|---|---|---|
| Руда | 6 | 6 | 12 |
| Світла | 6 | 2 | 8 |
| Разом | 12 | 8 | 20 |
Після відомого A лишається рядок із 12 результатів, і 6 із них мають B: 6/12=1/2. Натомість спільний шанс A∩B — 6/20=3/10. Загальний шанс B все ще 12/20=3/5; однаковий загальний шанс не означає незалежності від першого результату. Таблиці спряженості.
Незалежні — не означає несумісні
Події незалежні, коли виконується:
P(A∩B) = P(A)P(B).
При додатному P(A) це рівнозначно P(B|A)=P(B). Несумісні події не можуть відбутися разом, їх перетин порожній. Наприклад, «перша руда» й «перша світла» несумісні; маючи обидва додатні шанси, вони не незалежні. А «перша руда» й «друга руда» можуть відбутися разом. Означення й відмінність.
Правило додавання з попередньої статті працює і для залежних подій. Без повернення шанс хоча б однієї рудої:
P(A∪B) = (3)/(5) + (3)/(5) − (3)/(10) = (9)/(10).
У дереві множте шанси вздовж шляху, додавайте несумісні шляхи, а в таблиці завжди називайте знаменник. Так стає видно, яку інформацію враховано.