Квадратні рівняння: дискримінант і теорема Вієта

Виводимо формулу коренів через повний квадрат, знаходимо сторони ділянки та пов’язуємо дискримінант, графік і множники.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.8 хв читанняЧастина 13 з 51

Прямокутна ділянка має периметр 28 м і площу 40 м². Які її сторони? Сума довжин сусідніх сторін дорівнює 14 м. Якщо одна — $x$ м, друга — $(14-x)$ м, тож $x(14-x)=40$ . Сторони 4 м та 10 м; два корені описують той самий прямокутник із переставленими назвами сторін.

Потрібні множники, квадратні корені та рівносильні переходи. $x$ — числове значення довжини в метрах, тому $0<x<14$ ; добуток довжин вимірюється в м².

Побачити повний квадрат

Розкривши дужки й змінивши знак, отримуємо $x^2-14x+40=0$ . Додамо й віднімемо $7^2=49$ :

x^2-14x+40=(x-7)^2-9.

Це виділення повного квадрата: середній член −14x підказує половину коефіцієнта, −7. Отже, $(x-7)^2=9$ , звідки $x-7=3$ або $x-7=-3$ . Маємо $x=10$ або $x=4$ ; обидва допустимі. Перевірка: $2(4+10)=28$ м і $4\cdot10=40$ м².

Та сама побудова дає загальну формулу

Квадратне рівняння має вигляд $ax^2+bx+c=0$ з дійсними коефіцієнтами та $a\ne0$ . Якщо $a=0$ , це вже лінійний або вироджений випадок.

Домножимо на ненульове $4a$ , а потім доповнимо квадрат:

4a^2x^2+4abx+4ac=0,

(2ax+b)^2=b^2-4ac.

Число $D=b^2-4ac$ — дискримінант. Якщо $D\ge0$ , то $2ax+b=\pm\sqrt D$ , отже:

x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.

Знак $\pm$ означає два обчислення, з плюсом і з мінусом; за $D=0$ вони збігаються. Знаменник — весь $2a$ , і ділити треба весь чисельник. Методи квадратних рівнянь, OpenStax §2.5.

Для ділянки $a=1,b=-14,c=40$ : $D=196-160=36$ , тому $x=(14\pm6)/2$ , тобто 10 та 4. Дужки в $(-14)^2$ захищають знак коефіцієнта від помилки.

Чому кількість коренів залежить від знака D

Квадрат $(2ax+b)^2$ не буває від’ємним. Якщо $D<0$ , дійсних коренів немає. Якщо $D=0$ , є один корінь $-b/(2a)$ ; його також називають подвійним. Якщо $D>0$ , є два різні дійсні корені.

На графіку $y=ax^2+bx+c$ кожна точка показує значення виразу для заданого $x$ . Такий графік називають параболою. Корені — саме ті $x$ , де $y=0$ : парабола перетинає горизонтальну вісь, торкається її або не має з нею спільних точок.

Суцільна: y=x²−1, D=4, корені −1 та 1. Штрихова: y=x², D=0, корінь 0. Крапкова: y=x²+1, D=−4, дійсних коренів немає. Шкали рівномірні; одиниці обох осей умовні.

Не кожній задачі потрібна повна формула

Коли $b=0$ або $c=0$ , рівняння називають неповним. $x^2-9=0$ одразу дає $x=\pm3$ . У $x^2-3x=0$ виносимо $x$ : $x(x-3)=0$ , тому $x=0$ або 3. Ділення на $x$ загубило б нуль. А $ax^2=0$ за $a\ne0$ має лише $x=0$ .

Вієт: корені видно в коефіцієнтах

Якщо дійсні корені $x_1,x_2$ існують, із повторенням подвійного, то теорема Вієта дає:

x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.

Додаючи корені з формули, отримуємо $-b/a$ , а перемножуючи — $(b^2-D)/(4a^2)=c/a$ . Причину видно з розкладу $a(x-x_1)(x-x_2)$ : після розкриття дужок коефіцієнт при $x$ дорівнює $-a(x_1+x_2)$ , а стала — $ax_1x_2$ . Навпаки, числа з потрібною сумою й добутком відтворюють початковий тричлен. Для ділянки $4+10=14$ , $4\cdot10=40$ , тому $x^2-14x+40=(x-4)(x-10)$ .

Алгебраїчний корінь ще потребує контексту. Якщо задати ту саму площу, але сказати, що довжина на 6 м більша за ширину, отримаємо $x^2+6x-40=0$ . Корені 4 і −10, але від’ємна ширина не підходить: лишаються 4 м та 10 м.

Відгалуження · УточненняОкрема умова, яку легко пропустити в таблиці.

Нульовий дискримінант не означає раціональний корінь

Для довільних дійсних коефіцієнтів $D=0$ гарантує один дійсний корінь, але не його раціональність. У $x^2-2\sqrt2\,x+2=0$ дискримінант нульовий, а корінь $\sqrt2$ . Висновок про раціональність потребує додаткового припущення про раціональні коефіцієнти.

Формула коренів — результат того самого доповнення квадрата, яке розв’язало задачу про ділянку. Дискримінант перевіряє можливість добути дійсний корінь, Вієт перевіряє суму й добуток, а умови задачі — допустимість отриманих величин.