Уявна майстерня описує прибуток за день формулою P(q) = − 10(q − 2)(q − 8), де q — ціла кількість виробів від 0 до 10, а P виміряний у гривнях. Коли прибуток додатний? Знайти лише точки беззбитковості 2 і 8 недостатньо: потрібні проміжки між ними.
Спираємося на множники, квадратні рівняння та нерівності. Модель вигадана й чинна лише на заданому діапазоні.
Чому працює одне число з проміжку
Лінійний множник q − 2 змінює знак лише в 2, а q − 8 — лише в 8. Ліворуч від 2 обидва від’ємні, між 2 і 8 знаки різні, праворуч від 8 обидва додатні. Добуток відповідно додатний, від’ємний, додатний. Множник −10 перевертає ці знаки: прибуток додатний при 2 < q < 8, тобто для цілих 3,4,5,6,7. При q = 5 він дорівнює 90 грн; при 2 та 8 — нулю.
У методі інтервалів нулі множників і заборонені знаменником точки ділять пряму. Усередині кожного отриманого інтервалу знак кожного множника сталий, отже сталий і знак добутку чи частки. Тестове число встановлює цей знак, а не доводить саме по собі, що знак ніде не зміниться: це випливає з будови виразу. Раціональні нерівності, OpenStax §7.6.
Нуль і полюс виконують різні ролі
Розв’яжімо для дійсного x:
((x − 1)^(2)(x + 2))/(x − 3) ≥ 0.
Спочатку x ≠ 3. Нулі чисельника — −2 та 1. У точці 3 знаменник нульовий, чисельник ненульовий: це полюс виразу, і 3 не може бути відповіддю навіть за нестрогої нерівності. У точці 1 квадратний множник має парну кратність: по обидва боки він додатний. Тому знак там не змінюється.
Знаки частки
R(x) = (x − 1)²(x + 2)/(x − 3)
| Інтервал | Знак | R(x) ≥ 0 |
|---|---|---|
| (−∞, −2) | + | ✓ |
| (−2, 1) | − | — |
| (1, 3) | − | — |
| (3, ∞) | + | ✓ |
Точки: R(−2) = 0; R(1) = 0; x ≠ 3.
На інтервалах отримуємо знаки + , − , − , +. Для ≥ 0 беремо додатні інтервали та допустимі нулі. Відповідь:
( − ∞, − 2]∪{1}∪(3,∞).
Одиниця — ізольований розв’язок: поруч значення від’ємні, але в самій точці вони нульові. Для строгого > 0 ні −2, ні 1 не ввійшли б. Правило «завжди чергуй плюс і мінус» тут пропустило б цю особливість. Непарний степінь змінює знак множника при переході через його нуль, парний — ні. Кратність коренів, OpenStax §5.3.
Після скорочення спільного множника початкові виключення теж залишаються. Не кожна заборонена точка є полюсом: у (x − 1)/(x − 1) при x = 1 — усувна прогалина, але включати 1 все одно не можна.
Відгалуження · Корінь у нерівностіСпершу область і знак, потім метод інтервалів.
Коли можна піднести до квадрата
У √(x + 2) > x потрібно x ≥ − 2. На [ − 2,0) ліва частина невід’ємна, права від’ємна — нерівність автоматично правильна. При x ≥ 0 обидві частини невід’ємні, тож квадрат рівносильний: x + 2 > (x)^(2), або (x − 2)(x + 1) < 0. Звідси − 1 < x < 2, а з умовою випадку — 0 ≤ x < 2. Об’єднання дає [ − 2,2). Межа −2 підходить: 0 > − 2; 2 не підходить: 2 > 2 неправда.
Таблиця знаків має зберігати три різні речі: знак на відкритих інтервалах, значення в нулях і недопустимість знаменників. Лише після цього інтервали стають повною відповіддю.