Знайти кут: обернені функції й тригонометричні рівняння

Калькулятор дає arcsin(1/2)=π/6. Чому сигнал має ще перетини цього рівня? Обернена функція повертає один головний кут; рівняння вимагає всі кути. Потрібні перетворення рівнянь, обернені функції та тотожності.

Гілка обернення

Обернена функція відповідає: «який кут має заданий синус, косинус, тангенс чи котангенс?» Щоб відповідь була єдиною, обмежуємо область початкової функції. Наприклад, arcsin a — кут із [−π/2,π/2], синус якого дорівнює a. Домовленості для головних значень:

$\arcsin a\in[-\pi/2,\pi/2],\quad\arccos a\in[0,\pi]\quad(|a|\le1).$

$\arctan a\in(-\pi/2,\pi/2),\quad\operatorname{arccot}a\in(0,\pi)\quad(-\infty<a<\infty).$

Для arccot тут обрано (0,π), як у нашому підручнику; інші домовленості потребують перерахунку. Наприклад, arccos(−1/2)=2π/3, arctan1=π/4, arccot0=π/2. Запис sin⁻¹ у калькуляторі означає arcsin, не 1/sin.

Усі розв’язки, кути в радіанах

У наступних формулах k — довільне ціле число:

$\sin x=a:\ x=\arcsin a+2\pi k\ \text{або}\ x=\pi-\arcsin a+2\pi k.$

$\cos x=a:\ x=\pm\arccos a+2\pi k;$

$\tan x=a:\ x=\arctan a+\pi k;\quad\cot x=a:\ x=\operatorname{arccot}a+\pi k.$

Однакова висота на колі дає кути x та π−x, тому синус має дві сім’ї; косинус однаковий для x та −x. Повний оберт додає 2π, а tan/cot повторюються вже через π. Для sin/cos при |a|>1 дійсних розв’язків немає; при a=±1 деякі сім’ї збігаються, їх не рахують двічі. OpenStax

Один рівень, кілька часів

sin(πt/3)=1/2

Суцільний сигнал sin(πt/3), штриховий рівень 1/2. Позначено всі чотири перетини на 0≤t<12: 0,5;2,5;6,5;8,5 год. Рівномірні шкали, значення безрозмірні.

Для умовного сигналу з періодом 6 год:

$\sin(\pi t/3)=1/2\iff t=1/2+6k\ \text{або}\ t=5/2+6k.$

На 0≤t<12 лишаються 0,5;2,5;6,5;8,5 год. Обмеження часу накладаємо після повної множини розв’язків.

Перетворення не повинне губити кути

$\sin2x=\sin x\iff\sin x(2\cos x-1)=0.$

Маємо x=πk або x=±π/3+2πk. Ділення на sinx загубило б першу сім’ю. Для рівняння sin²x−3sinx+2=0 заміна теж має образ:

$u^2-3u+2=0,\quad u=\sin x\in[-1,1]\quad\Rightarrow\quad u=1\quad\Rightarrow\quad x=\pi/2+2\pi k.$

Корінь u=2 заборонено. Перевіряйте початкові знаменники та область нової змінної, а відповідь звіряйте з початковим сигналом, не лише з перетвореним многочленом.