Степеневі функції: чому масштаб змінює результат

Лінійний, квадратний і кубічний масштаб, графіки степенів та коренів, від’ємні й раціональні показники з чіткими областями визначення.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.8 хв читанняЧастина 24 з 51

Збільшимо ребро куба з 2 до 4 см. Довжина зросла вдвічі, площа однієї грані — з 4 до 16 см², об’єм — з 8 до 64 см³. Одна зміна масштабу дає різний множник результату залежно від показника степеня.

Потрібні корені й раціональні степені та читання графіків. Для геометричного масштабування змінюємо всі відповідні довжини в однакову кількість разів: фігури залишаються подібними.

Показник фіксований, основа змінна

Степенева функція має вигляд $f(x)=kx^a$ : $k$ та $a$ сталі, $x$ змінюється. Наприклад, $x$ , $x^2$ , $x^3$ , $1/x=x^{-1}$ та $\sqrt x=x^{1/2}$ на своїх областях. У $2^x$ змінний уже показник, тому це показникова, а не степенева функція. Означення, OpenStax §5.2.

Для $x>0$ та додатного коефіцієнта масштабу $s$ маємо $f(sx)=s^a f(x)$ . При $a=1,2,3$ подвоєння дає множники 2,4,8. При $a=-1$ — половину; при $a=1/2$ — $\sqrt2$ , приблизно 1,414, а не половину й не подвоєння.

Парність натурального показника

Для додатного цілого $n$ функція $x^n$ визначена на всій дійсній прямій. Якщо $n$ парний, $(-x)^n=x^n$ : графік симетричний відносно вертикальної осі, значення невід’ємні. Він спадає до 0 зліва й зростає справа; мінімум 0.

Якщо $n$ непарний, $(-x)^n=-x^n$ : графік симетричний відносно початку й зростає на всій прямій. Область значень — усі дійсні числа. Саме тому кубічний корінь можна визначити й для від’ємного числа, а арифметичний квадратний — ні.

П’ять степеневих законів

y = x
y = x²
y = x³
y = √x
y = 1/x

Однакові осі, умовні одиниці. Показано вікно −2≤x≤2, −4≤y≤4. Корінь починається при x=0; дві вітки 1/x не з’єднані. Частини графіків поза вікном не показані.

На $0<x<1$ більший додатний показник дає менше значення: при $x=1/2$ маємо $x=1/2$ , $x^2=1/4$ , $x^3=1/8$ . Для $x>1$ порядок протилежний. Висновок «куб завжди більший за квадрат» без області хибний.

Від’ємний показник виключає нуль

$x^{-n}=1/x^n$ при $x\ne0$ . Для $x^{-1}$ графік має дві вітки й змінює знак разом з $x$ ; для $x^{-2}$ обидві вітки додатні. Обидві функції не визначені в нулі. Крива по різні боки розриву не з’єднується вертикальною лінією.

Нульовий показник дає $x^0=1$ для $x\ne0$ . Вираз $0^0$ у цьому курсі не визначаємо. Для нуля й додатного показника значення дорівнює нулю, якщо цей степінь визначений.

Корені визначають область дробового показника

Для $x>0$ і цілого $p$ , натурального $q$ визначаємо $x^{p/q}=(\sqrt[q]x)^p$ . При додатному $p/q$ можна включити $x=0$ ; при від’ємному — ні. Так, $x^{1/2}$ має область $[0,\infty)$ , а $x^{-1/2}$ — $(0,\infty)$ . Квадратний корінь зростає й має лише невід’ємні значення. Кубічний корінь $\sqrt[3]x$ визначений на всій прямій і теж зростає. Корені й степені, OpenStax §1.3.

Відгалуження · Домовленість про областьЗагальні закони степенів безпечні для додатної основи; тут окреме розширення.

Раціональний показник і від’ємна основа

Щоб дозволити $x<0$ , спочатку записуємо $p/q$ як нескоротний дріб з $q>0$ . Якщо $q$ непарний, задаємо $x^{p/q}=(\sqrt[q]x)^p$ . Наприклад, $(-8)^{1/3}=-2$ , $(-8)^{2/3}=4$ . Якщо $q$ парний, дійсного значення для від’ємного $x$ немає. Нуль і надалі виключено за від’ємного показника.

Ця домовленість вимагає обережності: $2/6=1/3$ , тому $(-8)^{2/6}=-2$ , але $(({-8})^2)^{1/6}=64^{1/6}=2$ . Перегрупування степенів змінило відповідь. Не можна без умов переносити закони додатної основи на від’ємну або приховувати область у записі показника.

Показник розповідає, як змінюється результат, але тільки разом з областю. Спершу перевірте знак основи й нуль, потім порівнюйте масштаби: геометрична довжина, площа та об’єм не повинні зростати однаково.