Умовний датчик повторює показ кожні 6 годин, коливаючись навколо 10 з відхиленням до 2 одиниць. Синусоїда відділяє середній рівень, розмах, період і часовий зсув. Потрібні перетворення графіків та одиничне коло.
y(t) = 10 + 2sin((π)/(3)(t − 1)); T = 6, 8 ≤ y ≤ 12.
t — години, покази в умовних одиницях. При t=1 значення 10 і починає зростати, максимум 12 — при t=2,5; через 6 год картина повторюється.
y = d + Asin(ω(t − h)), ∣A∣ > 0, ω > 0; T = (2π)/(ω).
Амплітуда |A| — максимальне відхилення від d, повний розмах 2|A|. h — зсув вправо, ω — кутова частота в радіанах/год, тому аргумент синуса безрозмірний. При A=0 графік сталий, найменшого додатного періоду немає. OpenStax
Параметри сигналу
y=10+2sin(π(t−1)/3); -- y=10+sin(πt)
Синус і косинус
sin x; -- cos x
Тангенс і котангенс
tan x; -- cot x
Одна окружність, різні графіки
sin і cos визначені на ℝ, обмежені [−1,1], мають найменший додатний період 2π. Їхній зсув пояснює, чому одна гармоніка може записуватися обома способами.
cosx = sin(x + π/2); tanx = (sinx)/(cosx); cotx = (cosx)/(sinx).
Тангенс і котангенс мають період π, але не мають скінченної амплітуди: значення необмежені. Для tan виключено π/2+kπ, для cot — kπ, k цілий. Біля цих вертикальних асимптот вітки не можна з’єднувати лініями. На кожному своєму інтервалі tan зростає, cot спадає.
Ідеальна гармоніка — особливий вид періодичної зміни. Прямокутний імпульс теж повторюється, але не описується однією синусоїдою. Наш датчик — задана модель, не виміряний сигнал; форму й параметри реального сигналу потрібно перевіряти окремо.
Додатково: період суми
Якщо T є періодом і f, і g, тоді (f+g)(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x), тож T є періодом суми. При співмірних періодах T₁/T₂=p/q, де p,q додатні цілі, спільний період qT₁=pT₂. Наприклад, sin x і sin 2x мають спільний 2π. Це не завжди найменший період суми: через скорочення sin x−sin x=0 вона навіть стає сталою. Самого факту періодичності кожного доданка без спільного періоду недостатньо для такого висновку.