Є три планки завдовжки 2, 3 і 4 м. Чи можна з’єднати їхні кінці в трикутну раму? А якщо найдовша планка має 5 м? Різниця в один метр тут відділяє справжній трикутник від плоского складання вздовж однієї лінії.
Трикутник утворюють три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки між ними. Кожна його сторона коротша за суму двох інших, а сума внутрішніх кутів у евклідовій площині дорівнює 180°. Для пояснення знадобляться паралельні прямі й кути при січній.
Чи замкнуться три сторони
Нехай позитивні довжини сторін — a,b,c. Для невиродженого трикутника:
a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Дві сторони утворюють ламаний шлях між кінцями третьої; прямий шлях коротший. Тому нерівності строгі. Якщо відомо, яка сторона найдовша, достатньо перевірити її: решта дві нерівності автоматично виконуються для позитивних довжин. Ці умови також достатні для існування трикутника: пояснення до побудови I.22. Евклід I.20.
Для 2,3,4 маємо 2+3>4 — рама можлива. Для 2,3,5 отримуємо рівність: коротші планки лише вкладаються в найдовшу на одній прямій. Це вироджений випадок, не трикутник нашого означення. Якщо найдовша більша за 5 м, вони взагалі не зімкнуться. Це перевірка геометричної форми; міцності матеріалу вона не визначає.
2 + 3 > 4: трикутник існує
2 + 3 = 5: виродження
Коли дві сторони дорівнюють 2 і 3 м, третя повинна бути не лише меншою за 5, а й більшою за різницю 3−2=1 м:
1 < c < 5.
На обох межах трикутник сплющується. Периметр — сума трьох довжин; для рами 2,3,4 це 9 м.
Звідки беруться 180°
Позначимо внутрішні кути при A,B,C як α,β,γ. Через C проведемо пряму, паралельну AB. За властивістю внутрішніх різносторонніх кутів на ній відтворюються α та β. Разом із γ вони заповнюють розгорнутий кут:
α + β + γ = 180°.
Це пояснює суму для будь-якого плоского трикутника без вимірювання транспортиром. Наприклад, в іншому трикутнику два кути 40° і 65° залишають для третього 180°−40°−65°=75°. Евклід I.32.
Зовнішній кут при вершині отримуємо, продовживши одну сторону за вершину. Він суміжний із внутрішнім, тому дорівнює 180° мінус цей внутрішній кут, тобто сумі двох інших внутрішніх кутів. При внутрішньому 75° зовнішній дорівнює 105°=40°+65°.
У доведенні використано паралельність на евклідовій площині. Для трикутника на сфері, утвореного дугами великих кіл, суму 180° переносити не можна. Межа плоскої моделі.
Два різні способи назвати трикутник
За сторонами трикутник різносторонній, якщо всі три довжини різні; рівнобедрений, якщо принаймні дві рівні; рівносторонній, якщо рівні всі три. Тут означення включне: рівносторонній є окремим випадком рівнобедреного.
За кутами він гострокутний, якщо всі кути гострі; прямокутний, якщо один 90°; тупокутний, якщо один більший за 90°. Двох прямих або двох тупих кутів бути не може: вони вичерпали б або перевищили 180°, не залишивши позитивного третього кута.
За сторонами й за кутами класифікуємо одночасно: наприклад, прямокутний може бути різностороннім або рівнобедреним. Назва «різносторонній» сама не визначає найбільшого кута.
Більша сторона лежить навпроти більшого кута
В одному трикутнику більшій стороні протилежний більший кут, і навпаки. Стороні AB протилежний кут при C, а не при A чи B. Отже, у рамі зі сторонами 2,3,4 найбільший кут лежить навпроти сторони 4 м. Це ще не дає його числової міри. Евклід I.19.
Перед складанням рами спочатку перевірте довжини строгими нерівностями. Після цього кутова сума та порядок «більша сторона — більший протилежний кут» допоможуть помітити суперечливий ескіз.