Tenemos tres listones de 2, 3 y 4 m. ¿Podemos unir sus extremos formando un marco triangular? ¿Y si el más largo mide 5 m? Ese metro de diferencia separa un triángulo verdadero de una disposición aplanada sobre una recta.
Un triángulo está formado por tres puntos no colineales y los tres segmentos que los unen. Cada lado es menor que la suma de los otros dos, y sus ángulos interiores suman 180° en un plano euclídeo. Usaremos rectas paralelas y ángulos de una transversal.
¿Se cerrarán los tres lados?
Sean a,b,c longitudes positivas. Un triángulo no degenerado requiere:
a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Dos lados forman un camino quebrado entre los extremos del tercero; el camino recto es más corto. Por eso las desigualdades son estrictas. Si sabemos cuál es el lado mayor, basta comprobarlo: las otras dos desigualdades se cumplen automáticamente para longitudes positivas. Las condiciones también son suficientes para que exista un triángulo: véase el comentario sobre la construcción I.22. Euclides I.20.
Para 2,3,4 se cumple 2+3>4: el marco es posible. Para 2,3,5 hay igualdad: los listones cortos solo caben sobre el más largo en una recta. Es un caso degenerado, no un triángulo según nuestra definición. Si el mayor supera 5 m, ni siquiera se cerrarán. Esto comprueba la forma geométrica, no la resistencia del material.
2 + 3 > 4: existe un triángulo
2 + 3 = 5: degeneración
Si dos lados miden 2 y 3 m, el tercero debe ser menor que 5 y también mayor que su diferencia 3−2=1 m:
1 < c < 5.
El triángulo se aplana en ambos límites. El perímetro es la suma de las tres longitudes: 9 m para el marco 2,3,4.
De dónde salen los 180°
Llamemos α,β,γ a los ángulos interiores en A,B,C. Tracemos por C una recta paralela a AB. La propiedad de los ángulos alternos internos reproduce α y β sobre ella. Junto con γ completan un ángulo llano:
α + β + γ = 180°.
Esto explica la suma para cualquier triángulo plano sin medir con transportador. Por ejemplo, en otro triángulo, dos ángulos de 40° y 65° dejan 180°−40°−65°=75° para el tercero. Euclides I.32.
Un ángulo exterior en un vértice se obtiene prolongando un lado más allá de él. Forma un par lineal con el interior y vale 180° menos ese ángulo: la suma de los otros dos ángulos interiores. Con un interior de 75°, el exterior mide 105°=40°+65°.
La demostración utiliza el paralelismo en un plano euclídeo. La suma de 180° no puede trasladarse sin más a un triángulo esférico formado por arcos de círculos máximos. Límite del modelo plano.
Dos maneras de clasificar un triángulo
Por sus lados, es escaleno si las tres longitudes son distintas, isósceles si al menos dos son iguales y equilátero si las tres son iguales. Usamos una definición inclusiva: el equilátero es un caso particular del isósceles.
Por sus ángulos, es acutángulo si todos son agudos, rectángulo si uno mide 90° y obtusángulo si uno supera 90°. No puede haber dos ángulos rectos ni dos obtusos: agotarían o superarían 180°, sin dejar un tercer ángulo positivo.
Ambas clasificaciones se aplican simultáneamente: un triángulo rectángulo puede ser escaleno o isósceles. «Escaleno» por sí solo no determina el ángulo mayor.
Un lado mayor se opone a un ángulo mayor
Dentro de un mismo triángulo, al lado mayor se opone un ángulo mayor, y recíprocamente. El ángulo opuesto a AB está en C, no en A ni B. En el marco 2,3,4, el ángulo mayor se opone por tanto al lado de 4 m. Esto todavía no da su medida numérica. Euclides I.19.
Antes de montar el marco, comprobemos las desigualdades estrictas entre sus longitudes. Después, la suma de ángulos y la relación entre lado mayor y ángulo opuesto mayor ayudan a detectar un boceto contradictorio.