Logaritmos: qué exponente hace falta

Pasar de 1 a 1000 requiere tres multiplicaciones por 10. El logaritmo pregunta qué exponente produce un número, incluso si es fraccionario o negativo. Usamos funciones inversas y exponenciales.

$\log_a b=c\ \Longleftrightarrow\ a^c=b;\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0.$

$\log_{10}1000=3$ , $\log_{10}0{,}1=-1$ , $\log_2\sqrt2=1/2$ . El logaritmo real excluye argumentos cero y negativos. La gráfica logₐx refleja aˣ en y=x: dominio (0,∞), recorrido ℝ; crece para a>1 y decrece para 0<a<1. Su cero es x=1; x=0 es asíntota vertical.

Por qué un producto se vuelve suma

Escribimos x=aᵘ, y=aᵛ. Entonces xy=aᵘ⁺ᵛ y, para x,y>0:

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a(x/y)=\log_a x-\log_a y.$

Una potencia multiplica el exponente. Al tomar logaritmos en $a^{\log_a x}=x$ cambiamos de base:

$\log_a(x^r)=r\log_a x\ (x>0),\qquad\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}.$

ln tiene base e. Ninguna base convierte el logaritmo de una suma en suma de logaritmos: $\log_{10}(10+10)\approx1{,}301$ , pero $\log_{10}10+\log_{10}10=2$ . OpenStax

Escala lineal

Escala logarítmica

Valores adimensionales. Arriba la distancia es proporcional a v; abajo a log₁₀v. Cada paso inferior multiplica por 10. Cero queda excluido del eje logarítmico.

Distancias iguales significan factores iguales

En un eje logarítmico decimal, 0,1;1;10;100 están equidistantes: sus coordenadas son −1;0;1;2. A mitad de camino entre 1 y 100 está 10, no 50,5. Para una magnitud física se necesita una razón adimensional respecto de una unidad o referencia indicada. Aquí los números son adimensionales; decibelios o terremotos exigirían otro modelo específico.