Un taller ficticio modela el beneficio diario con P(q) = − 10(q − 2)(q − 8), donde q es un número entero de artículos entre 0 y 10 y P se expresa en unidades monetarias. ¿Cuándo es positivo? Hallar solo los puntos de equilibrio 2 y 8 no basta: necesitamos los intervalos entre ellos.
Usamos factorización, ecuaciones cuadráticas y desigualdades. El modelo inventado solo vale en su dominio indicado.
Por qué basta un valor de prueba por intervalo
El factor q − 2 cambia de signo solo en 2; q − 8, solo en 8. A la izquierda de 2 ambos son negativos; entre 2 y 8 tienen signos distintos; a la derecha de 8 ambos son positivos. El producto tiene signos positivo, negativo, positivo. El factor −10 los invierte: el beneficio es positivo para 2 < q < 8, es decir, los enteros 3,4,5,6,7. Para q = 5 vale 90; en 2 y 8 vale cero.
Los ceros de los factores y los valores prohibidos del denominador dividen la recta. Dentro de cada intervalo, cada factor conserva su signo, igual que el producto o cociente. Un valor de prueba identifica ese signo; no demuestra por sí solo que no pueda cambiar. Eso se deduce de la estructura de la expresión. Desigualdades racionales, OpenStax §7.6.
Un cero y un polo tienen papeles distintos
Para x real, resolvamos:
((x − 1)^(2)(x + 2))/(x − 3) ≥ 0.
Primero, x ≠ 3. Los ceros del numerador son −2 y 1. En 3 el denominador es cero y el numerador no: es un polo, excluido incluso en una desigualdad no estricta. En 1 el factor cuadrado tiene multiplicidad par y es positivo a ambos lados. El signo no cambia allí.
Signos del cociente
R(x) = (x − 1)²(x + 2)/(x − 3)
| Intervalo | Signo | R(x) ≥ 0 |
|---|---|---|
| (−∞, −2) | + | ✓ |
| (−2, 1) | − | — |
| (1, 3) | − | — |
| (3, ∞) | + | ✓ |
Puntos: R(−2) = 0; R(1) = 0; x ≠ 3.
Los signos de los intervalos son + , − , − , +. Para ≥ 0, elegimos intervalos positivos y ceros admisibles:
( − ∞, − 2]∪{1}∪(3,∞).
Uno es una solución aislada: los valores vecinos son negativos, pero en 1 la expresión vale cero. Con > 0, ni −2 ni 1 se incluirían. Alternar signos a ciegas pierde esta particularidad. Una potencia impar cambia el signo del factor al atravesar su cero; una par no. Multiplicidad, OpenStax §5.3.
Las exclusiones originales permanecen tras cancelar factores. No todo punto prohibido es un polo: (x − 1)/(x − 1) tiene un hueco evitable en 1, pero sigue sin permitirse ese valor.
Rama · Una desigualdad radicalPrimero dominio y signos; después intervalos.
¿Cuándo podemos elevar ambos lados al cuadrado?
En √(x + 2) > x exigimos x ≥ − 2. En [ − 2,0) el lado izquierdo es no negativo y el derecho negativo, así que la desigualdad se cumple automáticamente. Para x ≥ 0, ambos son no negativos y elevar al cuadrado es equivalente: x + 2 > (x)^(2), o (x − 2)(x + 1) < 0. Resulta − 1 < x < 2; con la condición del caso, 0 ≤ x < 2. La unión es [ − 2,2). −2 sirve: 0 > − 2; 2 no, pues 2 > 2 es falso.
Conserva tres datos distintos: signos en intervalos abiertos, valores en los ceros y valores prohibidos del denominador. Juntos producen la respuesta completa.