Un artículo cuesta 120 unidades monetarias hipotéticas, y el envío del pedido añade 40. Para tres unidades calculamos 120 ⋅ 3 + 40 = 400. Para cinco, 120 ⋅ 5 + 40 = 640. Casi todo se repite. Las letras permiten conservar la regla y sustituir los números cuando conocemos los datos.
Aquí basta con manejar enteros y fracciones. Todavía no necesitamos resolver ecuaciones complicadas.
Qué significa cada letra
Llamamos n a la cantidad de artículos, p al precio de cada uno, d al coste de envío y C al coste total. La fórmula es:
C = pn + d.
La escritura pn significa el producto p ⋅ n. Primero calculamos el coste de todos los artículos y después sumamos el envío una sola vez. El número n es una variable: en distintos pedidos puede valer 1, 3 o 5. Un valor de la variable es el número elegido, por ejemplo 3. El valor de toda la expresión para n = 3, p = 120, d = 40 es 400. OpenStax, §1.2 sobre variables, expresiones y sustitución.
En una tarifa, p = 120 y d = 40 permanecen fijos: actúan como parámetros del modelo. Podemos cambiarlos al comparar otra tarifa. Por ejemplo, con p = 80, d = 0, los mismos tres artículos cuestan 240. El problema determina el papel de cada letra: p no es una «constante» para siempre por llamarse así.
Fijamos la tarifa: p = 120 (precio por unidad); d = 40 (envío por pedido).
| Cantidad n, unidades | Sustitución | Coste C |
|---|---|---|
| 1 | 120 × 1 + 40 | 160 |
| 3 | 120 × 3 + 40 | 400 |
| 5 | 120 × 5 + 40 | 640 |
Sustituir conserva el orden de las operaciones
La expresión pn + d indica operaciones que podemos calcular después de elegir los valores. La fórmula C = pn + d relaciona cantidades mediante una igualdad. Aquí 120 ⋅ 3 + 40 no es igual a 120 ⋅ (3 + 40): esos paréntesis ordenarían multiplicar también el coste de envío por el precio del artículo.
Al sustituir un número negativo lo encerramos entre paréntesis. En otro ejemplo, puramente numérico, 2x + 5 para x = − 3 da 2 ⋅ ( − 3) + 5 = − 1. La sustitución algebraica es válida, pero −3 artículos quedan fuera de nuestro modelo de compra.
Igualdad condicional e identidad
La igualdad 120n + 40 = 400 es cierta para n = 3, pero para n = 1 el lado izquierdo vale 160. Cuando buscamos los valores para los que se cumple una igualdad, tenemos una ecuación. Más adelante aprenderemos a resolverla sistemáticamente.
En cambio, p(n + 1) = pn + p se cumple para todos los reales p,n. Es una identidad: una igualdad válida para todos los valores permitidos de sus variables. Es un caso de la propiedad distributiva: multiplicar una suma por un número equivale a multiplicar cada sumando y sumar los resultados. Propiedades de las operaciones con reales, OpenStax §1.1.
En el modelo de compra se ve sin manipulación formal: n + 1 artículos iguales son n artículos más uno; por eso p(n + 1) y pn + p describen el mismo coste de los artículos. La propiedad también se cumple con números negativos, aunque la imagen literal de contar productos ya no sirve. Varias comprobaciones numéricas correctas no demuestran una identidad para todos los números; aquí la justificación es la propiedad aritmética.
La fórmula necesita límites
Para esta compra tomamos solo n ≥ 1 entero, p y d no negativos y las mismas unidades monetarias. Aritméticamente podemos sustituir n = 0 y obtener C = d, pero eso no demuestra que la tienda cobre por un pedido inexistente. Ese caso necesita una regla aparte.
La fórmula tampoco incluye descuentos por cantidad ni envío gratuito a partir de un umbral. Si cambian las condiciones, debemos cambiar el modelo, en vez de introducir otro número en la expresión anterior.
Rama · Comprobación de unidadesPuedes omitir esta comprobación adicional sin perder la explicación principal.
Detectar un error antes de calcular
El precio p se expresa en «unidades monetarias por artículo» y la cantidad n, en «artículos». En el producto pn se cancelan los artículos y quedan unidades monetarias. El envío d se mide en esas mismas unidades, así que podemos sumarlo.
La expresión p + n, en cambio, sumaría un precio por artículo a un número de artículos. Aunque la calculadora devolviera un número, no tendría el significado buscado. Unas unidades coherentes ayudan a descartar errores, pero no demuestran por sí solas que todas las condiciones del modelo sean correctas.
Una letra reserva el lugar de un número junto con su significado. Para leer una fórmula nueva, indica cada cantidad y su unidad, los valores permitidos y comprueba un caso concreto. Así pn + d se convierte en una regla breve que puedes explicar y verificar.