Cortar una esquina de una caja no tiene por qué crear un borde cuadrado. Incluso un cubo puede cortarse para obtener una sección triangular o hexagonal. ¿Cómo hallar la forma real a partir de un dibujo plano? Construiremos la sección cara a cara sin unir puntos arbitrarios directamente.
Qué estamos intersectando
Requisitos: cuadriláteros, rectas y planos, proyecciones.
Un poliedro es un sólido cuya superficie consta de un número finito de polígonos planos. Son las caras; sus lados compartidos son las aristas y los extremos de estas son los vértices. El cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices; cada arista compartida se cuenta una vez.
Aquí trabajamos con poliedros convexos. La sección de un sólido por un plano es el conjunto de puntos que pertenecen tanto al sólido como al plano. Si el plano atraviesa el interior, la sección es un polígono convexo relleno: sus lados están en las caras y sus vértices en las aristas, a veces en vértices del sólido. No es solo el contorno: este es su frontera. Un plano que solo toca un vértice o una arista da una intersección degenerada, un punto o un segmento.
La proyección es distinta: puede contener imágenes de puntos de todo el volumen. La sección no traslada nada: conserva solo los puntos del propio plano secante. La silueta del cubo en la pantalla no determina la forma de su sección.
Nuestro cubo y tres puntos dados
Tomemos el cubo ABCDA₁B₁C₁D₁ de arista 5 m. La cara inferior es ABCD; A₁ está sobre A, B₁ sobre B, etc. En aristas verticales marcamos K∈AA₁, L∈BB₁, M∈CC₁ con AK=1 m, BL=2 m, CM=4 m. Estos tres puntos no alineados determinan un plano.
1 · Dos caras contiguas
2 · Por K paralela a LM
3 · Sección cerrada KLMN
- Caras frontal y derecha. K y L comparten la cara ABB₁A₁; KL es su intersección con el plano secante dentro del cubo. Asimismo, LM pertenece a BCC₁B₁. Son dos lados contiguos de la sección.
- El cuarto punto. Las caras izquierda y derecha son paralelas. Sus intersecciones con el mismo plano secante son paralelas: por K, en ADD₁A₁, trazamos una paralela a LM. Su intersección con DD₁ será N.
- Cierre. Unimos N con M en la cara trasera DCC₁D₁. Obtenemos KLMN. Como KL∥NM y LM∥KN, es un paralelogramo.
En la cara derecha, al ir de L a M la altura aumenta 4−2=2 m a lo largo de un lado horizontal del cubo. En la izquierda, KN paralelo produce el mismo aumento: DN=1+2=3 m. Está dentro de la arista de 5 m. La sección no alcanza las caras superior e inferior: en cada una de las cuatro caras verticales ya construimos toda la recta de intersección y sus extremos están dentro de las aristas verticales.
Un paralelogramo dibujado no tiene por qué ser un rectángulo espacial. En la cara frontal, KL tiene recorrido horizontal 5 m y subida 1 m; en la derecha, LM tiene recorrido 5 m y subida 2 m. Sus longitudes espaciales cumplen:
(KL)^(2) = (5)^(2) + (1)^(2) = 26, (LM)^(2) = (5)^(2) + (2)^(2) = 29.
Así, las aristas iguales del cubo ni siquiera hacen iguales los lados contiguos de la sección. Medir sus longitudes dibujadas no sustituye a Pitágoras.
Construcción adicionalLa sección principal ya está construida mediante caras paralelas.
Rama · Método de las trazas
La traza de un plano en otro es su recta de intersección cuando son distintos y no paralelos. En nuestro ejemplo prolongamos KL hasta la recta AB en T y LM hasta la recta BC en U. Ambos puntos quedan fuera del cubo: T más allá de A, U más allá de B en sentido opuesto a C. TU es la traza del plano secante en el plano de la base ABCD.
Sea W=TU∩AD, también en la prolongación más allá de A. W y K pertenecen tanto al plano secante como al de la cara izquierda. Por eso WK es su recta de intersección; WK∩DD₁ vuelve a dar N. Se pueden prolongar rectas auxiliares fuera del sólido, pero solo los segmentos dentro de las caras son lados de la sección. Si las rectas necesarias son paralelas y no se cortan, no inventamos un punto: elegimos otra cara auxiliar o usamos el paralelismo.
Cómo comprobar el resultado
Los vértices contiguos de la sección deben compartir una cara. En la arista común de dos caras debe aparecer el mismo punto, no dos puntos cercanos. El contorno se cierra; en nuestro caso no degenerado ningún lado «flota» en el espacio. El trazo discontinuo indica aristas del cubo ocultas al observador o rectas auxiliares según el pie, no otro tipo de geometría.
El cubo tiene seis caras y cada una puede aportar como máximo un lado a una sección convexa no degenerada. Por tanto, son posibles polígonos desde triángulos hasta hexágonos; siete lados son imposibles. No trasladamos esta restricción a sólidos no convexos sin comprobarla.
Fuentes y límites
Los métodos de caras, trazas y paralelas auxiliares se contrastaron con Ister, geometría del curso 10, §§2 y 7. University of Luxembourg, Cut the Cube confirma convexidad y formas posibles; la clasificación mediante franjas ofrece otra visión de la sección como intersección de restricciones. Las cifras, notación y SVG son propios. Es un modelo geométrico sin grosor del material ni instrucciones de uso de herramientas.