Якщо зрізати кут коробки, новий край не зобов’язаний бути квадратом. Навіть куб можна розрізати так, що в площині зрізу з’явиться трикутник або шестикутник. Як знайти справжню форму, коли бачимо лише плоский рисунок? Будуватимемо переріз по гранях, не сполучаючи довільні точки навпростець.
Що саме перетинаємо
Передумови: чотирикутники, прямі й площини, проєкції.
Многогранник — тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількості плоских многокутників. Ці многокутники — грані, їхні спільні сторони — ребра, кінці ребер — вершини. У куба 6 граней, 12 ребер і 8 вершин; спільне ребро рахуємо один раз.
Тут працюємо з опуклими многогранниками. Переріз тіла площиною — усі точки, що належать і тілу, і площині. Коли площина проходить крізь внутрішність, переріз є заповненим опуклим многокутником; його сторони лежать у гранях, вершини — на ребрах, іноді у вершинах тіла. Це не лише контур: контур є межею перерізу. Дотик площини лише до вершини чи ребра дає вироджений перетин — точку або відрізок.
Проєкція інша: до неї можуть потрапляти зображення точок з усього об’єму. Переріз нічого не переносить: він залишає лише точки самої січної площини. Силует куба на екрані не визначає форми його зрізу.
Власний куб і три задані точки
Візьмемо куб ABCDA₁B₁C₁D₁ з ребром 5 м. Нижня грань — ABCD; A₁ стоїть над A, B₁ над B тощо. На вертикальних ребрах позначимо K∈AA₁, L∈BB₁, M∈CC₁ так, що AK=1 м, BL=2 м, CM=4 м. Ці три неколінеарні точки задають одну площину.
1 · Дві сусідні грані
2 · Через K паралельно LM
3 · Замкнений переріз KLMN
- Передня й права грані. K і L належать одній грані ABB₁A₁, тому KL — її перетин із січною площиною всередині куба. Аналогічно LM лежить у грані BCC₁B₁. Це дві сусідні сторони перерізу.
- Четверта точка. Ліва й права грані куба паралельні. Їхні перетини тією самою січною площиною паралельні: через K у грані ADD₁A₁ проводимо пряму, паралельну LM. Її перетин із DD₁ позначаємо N.
- Замикання. Сполучаємо N з M у задній грані DCC₁D₁. Маємо KLMN. KL∥NM і LM∥KN, тож це паралелограм.
На правій грані перехід від L до M піднімає висоту на 4−2=2 м за один горизонтальний бік куба. На лівій грані паралельний KN дає такий самий підйом: DN=1+2=3 м. Це всередині ребра довжини 5 м. Переріз не зачіпає верхньої та нижньої граней: на кожній із чотирьох вертикальних граней уже побудована вся пряма перетину, а її кінці всередині вертикальних ребер.
Паралелограм на рисунку не обов’язково прямокутник у просторі. У передній грані KL має горизонтальний пробіг 5 м і підйом 1 м; у правій LM — пробіг 5 м і підйом 2 м. Їхні просторові довжини:
(KL)^(2) = (5)^(2) + (1)^(2) = 26, (LM)^(2) = (5)^(2) + (2)^(2) = 29.
Отже, навіть рівні ребра куба не роблять сусідні сторони зрізу рівними. Вимірювання їхніх намальованих довжин не замінює теорему Піфагора.
Додаткова побудоваОсновний переріз уже побудовано через паралельні грані.
Відгалуження · Метод слідів
Слід площини на іншій площині — пряма їхнього перетину, коли площини різні й не паралельні. Для нашого прикладу продовжимо KL до перетину з прямою AB у T, а LM — з прямою BC у U. Обидві точки лежать поза кубом: T за A, U за B у напрямку, протилежному C. Пряма TU — слід січної площини на площині основи ABCD.
Нехай W=TU∩AD, теж на продовженні за A. Точки W і K належать одночасно січній площині та площині лівої грані. Тому WK — їхня лінія перетину; WK∩DD₁ знову дає N. Допоміжні прямі дозволено продовжувати поза тілом, але сторонами перерізу лишаються тільки відрізки всередині граней. Якщо потрібні прямі паралельні й не перетинаються, вигадувати точку перетину не можна: змінюємо допоміжну грань або використовуємо паралельність.
Як перевірити результат
Сусідні вершини перерізу мають лежати в одній грані. На спільному ребрі двох граней мусить бути та сама точка, а не дві близькі. Контур замикається; у нашому невиродженому випадку жодна сторона не «висить» у повітрі. Пунктир позначає закриті від спостерігача ребра куба або допоміжні лінії згідно з підписом, а не інший тип геометрії.
Куб має шість граней, і кожна може дати не більше однієї сторони опуклого невиродженого перерізу. Тому можливі многокутники від трикутника до шестикутника; сім сторін у такому перерізі неможливі. Це обмеження не переносимо без перевірки на неопуклі тіла.
Джерела й межі
Метод граней, слідів і паралельних допоміжних ліній звірено з Істером, геометрія 10 клас, §§2,7. University of Luxembourg, Cut the Cube підтверджує опуклість і можливі форми; класифікація через смуги дає інший погляд на зріз як перетин обмежень. Числа, позначення та SVG — власні. Це геометрична модель, без товщини матеріалу та інструкцій роботи з інструментом.