Для похилої грані пірамідального ковпака потрібна висота трикутника на поверхні. Якщо замість неї взяти вертикальну висоту всієї фігури, матеріалу забракне. Побудуємо власну квадратну піраміду й відокремимо три різні відрізки: висоту, апофему та бічне ребро.
Піраміда має одну вершину поза основою
Передумови: площа многокутників, перпендикуляри до площини, перерізи, призми й розгортки.
Беремо плоский опуклий многокутник і точку P поза його площиною. Сполучивши P з вершинами, отримуємо піраміду: многокутник є основою, трикутники зі спільною вершиною P — бічними гранями. У n-кутної піраміди n+1 грань, n+1 вершина та 2n ребер: n в основі, n бічних. Трикутна піраміда — тетраедр; «тетраедр» саме по собі не означає, що всі ребра рівні.
Висота h — довжина перпендикуляра PH із P до площини основи. У довільної піраміди H може бути поза многокутником. Це не бічне ребро й не висота трикутної грані.
Піраміда правильна, якщо основа — правильний многокутник і H є його центром. Тоді всі бічні ребра рівні, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники: відстані від центра до вершин однакові, отже Піфагор дає однакові бічні ребра; далі працює рівність трикутників за трьома сторонами.
Три відрізки в одній моделі
Задамо квадрат ABCD зі стороною 8 см, центром H і вершиною P на висоті PH=3 см над H. Нехай M — середина AB. У правильній піраміді висота PM бічного трикутника PAB називається апофемою l. Вона перпендикулярна до AB та лежить у бічній грані. Всі апофеми правильної піраміди рівні.
Висота h, апофема l, ребро b
Переріз PHM у справжньому масштабі
Паралельний зріз: t=1/2
У квадраті HM=4 см, HA=4√2 см. Трикутники PHM і PHA прямокутні в H, тому:
l = √((3)^(2) + (4)^(2)) = 5 см.
Бічне ребро PA=√(3²+(4√2)²)=√41≈6,40 см. Отже, h=3, l=5, PA≈6,40 см — різні величини. Усередині самої грані PAB перевірка дає PA²=PM²+MA²=25+16=41: два способи узгодилися.
Загалом у правильної піраміди l²=h²+r², де r — радіус вписаного кола основи. Для бічного ребра використовуємо радіус R описаного кола: b²=h²+R². Слова «радіус основи» без уточнення тут недостатні.
Правильна трикутна піраміда має правильну основу й вершину над її центром, але бічні ребра не зобов’язані дорівнювати сторонам основи. Лише коли всі шість ребер рівні, маємо правильний тетраедр, усі грані якого — рівносторонні трикутники.
Площа — сума трикутників і основи
Одна бічна грань нашої піраміди має площу 8·5/2=20 см². Чотири грані дають 80 см². Загалом у правильної піраміди з периметром основи Pbase:
S_(lat) = (P_(base) l)/(2).
Це сума aᵢl/2 за всіма сторонами основи; спільну апофему виносимо за дужки. Повна площа додає одну основу: 80+8²=144 см². У призми основ було дві; перенесення цієї звички на піраміду додало б зайву площу.
Для ковпака без дна потрібна лише бічна площа 80 см² у моделі нульової товщини. Шви, клапани й відходи тут не задані. У довільної піраміди рахуємо кожну грань зі своєю висотою lᵢ: сума aᵢlᵢ/2. Не підставляємо h замість l і не припускаємо спільної апофеми без умови правильності або окремого доведення рівності висот граней.
Перерізи змінюють масштаб
Площина через вершину P й діагональ основи дає трикутний діагональний переріз. Площина, паралельна основі й між нею та P, дає многокутник, подібний до основи. Якщо відстань від P до площини перерізу становить t від усієї висоти, 0<t<1, його довжини зменшуються в t разів, площа — в t². Це випливає з подібності трикутників у площинах через бічні ребра.
На половині висоти від вершини нашої піраміди переріз — квадрат зі стороною 4 см і площею 16 см². Це чверть 64 см², а не половина. Призма мала б такий самий переріз на кожній висоті; піраміда звужується.
Необов’язковий розрахунокОсновну піраміду та її площу вже розібрано вище.
Відгалуження · Зрізана правильна піраміда
Відкиньмо верхню маленьку піраміду після паралельного перерізу t=1/2. У решти дві основи зі сторонами 8 та 4 см, вертикальна висота 1,5 см; її апофема — залишок великої апофеми, s=5−2,5=2,5 см. Бічні грані — рівні рівнобічні трапеції. Мала піраміда мала б бічну площу t²·80=20 см², тому залишок має 80−20=60 см².
Загальна формула Sfrustum=(Pbig+Psmall)s/2 випливає й алгебраїчно: від Pl/2 віднімаємо (tP)(tl)/2, отримуємо P(1+t)·l(1−t)/2. Це середнє периметрів, помножене на апофему зрізаної частини. У нашому прикладі (32+16)·2,5/2=60; разом з основами 64+16 повна площа 140 см². Формула потребує правильного вихідного тіла й паралельного зрізу; для довільної усіченої форми ці умови не автоматичні.
Джерела й межі
Означення висоти, правильної піраміди, апофеми та суми площ — Мерзляк та співавтори, 2019, п.18, с.109–112. Додатково AMSI, Cones, Pyramids and Spheres пояснює знаходження висоти грані через Піфагора та суму її площ. Квадрат 8 см із висотою 3 см, його зріз і рисунки — власні; це не обмір історичної піраміди. Об’єм належить G034.