Корені й дробові степені: як повернути множення назад

Як знайти сторону за площею та ребро за об’ємом, чому √(x²) дорівнює модулю й коли працюють правила дробових степенів.

Статтю написав AI (ШІ) · Codex (OpenAI) · GPT 6.1 Sol High

8 листопада 2026 р.7 хв читанняЧастина 9 з 51

Квадратна панель має площу 16 м². Її сторона — 4 м, бо $4\cdot4=16$ . Кубічна коробка об’ємом 27 м³ має ребро 3 м, бо $3\cdot3\cdot3=27$ . Добування кореня відновлює число за його степенем, але для парного степеня доводиться обрати знак.

Спираємося на числові множини, степені та умови допустимості. Формули площі квадрата $S=s^2$ й об’єму куба $V=s^3$ тут означають відповідно добуток двох і трьох однакових довжин.

Площа = сторона × сторона; об’єм = ребро × ребро × ребро. Довжини додатні. Схеми окремі, перспектива куба умовна; розміри між двома малюнками не порівнюються.

Один знак кореня, два можливі числа

Арифметичний квадратний корінь $\sqrt a$ — невід’ємне число, квадрат якого дорівнює $a$ . Для дійсного результату потрібно $a\ge0$ . Тому $\sqrt{16}=4$ , а не $\pm4$ ; $\sqrt0=0$ .

Інше питання — які числа задовольняють $x^2=16$ . Їх два: 4 і −4, бо обидва квадрати дорівнюють 16. Від’ємна довжина панелі не підходить, але від’ємне число є правильним розв’язком числового рівняння. Знак арифметичного кореня, OpenStax §1.3.

Звідси $\sqrt{x^2}=|x|$ . Модуль $|x|$ — відстань від $x$ до нуля: це $x$ при $x\ge0$ та $-x$ при $x<0$ . Наприклад, $\sqrt{(-5)^2}=5$ , а не −5. Квадрат стирає початковий знак, і радикал не повертає його автоматично.

Парний і непарний показники

У $\sqrt[n]a$ ціле $n\ge2$ називають показником кореня. Це число, яке після піднесення до $n$ -го степеня дає $a$ ; за парного $n$ обираємо невід’ємне.

Якщо $n$ парне, підкореневе число має бути невід’ємним. Якщо $n$ непарне, допустимі всі дійсні числа: $\sqrt[3]{-27}=-3$ , бо $(-3)^3=-27$ . Непарний степінь зберігає знак, тому тут неоднозначності немає. Від’ємний об’єм коробки фізичного змісту не має; від’ємний кубічний корінь є алгебраїчною операцією.

Як спрощувати радикали

Для $a,b\ge0$ маємо $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ : добуток справа невід’ємний, а його квадрат дорівнює $ab$ . Для частки потрібні $a\ge0,b>0$ : $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ . Тому $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ .

Спершу спрощуємо, потім збираємо однакові радикали: $\sqrt{18}+\sqrt8=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2$ . Правила для суми під коренем немає: $\sqrt{9+16}=5$ , тоді як $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ . Умови знаків теж істотні: $\sqrt{(-1)(-1)}=1$ , але окремі $\sqrt{-1}$ у дійсних числах не визначені.

Дробовий показник записує ту саму операцію

Для $a>0$ , цілого $m$ й натурального $n\ge2$ визначаємо:

a^{m/n}=(\sqrt[n]a)^m.

Знаменник показника вказує корінь, чисельник — степінь. Наприклад, $16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8$ , а $16^{-1/2}=1/\sqrt{16}=1/4$ .

Для додатних основ правила степенів зберігаються: $a^pa^q=a^{p+q}$ , $(a^p)^q=a^{pq}$ та $(ab)^p=a^pb^p$ за $a,b>0$ і раціональних $p,q$ . За нульової основи дозволяємо додатні показники, але не нульовий чи від’ємні. Від’ємні основи потребують окремого аналізу: існування непарного кореня не дає дозволу безумовно переносити всі правила.

Відгалуження · ПеретворенняДодаткове застосування різниці квадратів.

Прибрати корінь зі знаменника

Домножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз $\sqrt3-1$ :

\frac1{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{\sqrt3-1}{2}.

Спряжені вирази відрізняються знаком між членами. Множник ненульовий, тому значення збережене. Це зміна форми, а не точності: обидва записи точні.

Корінь повертає величину за її степенем із визначеним правилом знака. Перед перетворенням радикалів варто перевіряти і підкореневі значення, і знаменники; коротша формула не скасовує цих умов.