Із чотирьох колег A,B,C,D треба обрати двох. Чому для команди є 6 варіантів, а для координатора й доповідача — 12? Ті самі люди дають різні результати, якщо важливі ролі або порядок. Формулу обираємо після означення результату. Потрібні степені та формули множення.
Коли додавати, коли множити
Якщо обираємо один із двох несумісних варіантів — наприклад, один із 3 паперових або 2 електронних форматів — маємо 3+2=5. Перетину бути не повинно; інакше спільні результати порахуємо двічі.
Якщо вибір складається з етапів, після кожного з яких лишається однакова кількість продовжень, множимо: 3 формати × 2 мови =6 комплектів. Якщо кількість продовжень залежить від гілки, рахуємо окремі гілки й додаємо їхні кількості. Це правило рахування, не припущення про ймовірнісну незалежність.
Ролі: 12 упорядкованих пар
Команди: 6 неупорядкованих пар
Порядок створює додаткові варіанти
Факторіал n! — добуток 1·2·…·n; 0!=1. Без повторень, для цілих 0≤k≤n: розміщення A обирає k різних об’єктів із порядком, перестановка P впорядковує всі n, комбінація C обирає без порядку:
(A_(n))^(k) = (n!)/((n − k)!), P_(n) = n!, (C_(n))^(k) = (n!)/(k!(n − k)!).
Координатора обираємо 4 способами, іншого доповідача — 3. Для команди AB і BA означають той самий результат, тому ділимо на 2!:
(A_(4))^(2) = 4 ⋅ 3 = 12, (C_(4))^(2) = (12)/(2!) = 6.
Загалом кожна команда з k людей має k! упорядкувань. Саме тому ділення на k! усуває рівномірний повторний рахунок; без перевірки його рівномірності ділити не можна. OpenStax
Відгалуження · ГлибшеНеобов’язково · можна пропустити
Повторення, Паскаль і біном Ньютона
Якщо дозволені повторення й для кожної з k позицій доступні всі n типів, маємо nᵏ послідовностей: кожна позиція має n виборів. Перестановки n предметів, де групи однакових мають кількості m₁,…,mᵣ, рахуються другою формулою:
(n)^(k); (n!)/(m_(1)!⋯m_(r)!) (m_(1) + ⋯ + m_(r) = n).
Для AABC це 4!/2!=12 різних рядків. Якщо порядок неважливий і k предметів обирають із n типів без обмеження запасу:
(C_(n + k − 1))^(k) (n ≥ 1, k ≥ 0).
Запишемо k зірок і n−1 роздільників: кількості зірок між роздільниками задають кількості кожного типу. Це взаємно однозначний запис, включно з нульовими кількостями. Наприклад, два предмети трьох типів дають AA,AB,AC,BB,BC,CC — 6. MIT, combinations with repetition.
У трикутнику Паскаля краї дорівнюють 1, а внутрішнє число — сума двох над ним:
(C_(n))^(k) = (C_(n − 1))^(k − 1) + (C_(n − 1))^(k) (1 ≤ k < n).
Перші рядки: 1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1. Команду або обирають із певним учасником, або без нього — звідси сума. Для невід’ємного цілого n біном Ньютона:
((a + b))^(n) = ((∑)_(k = 0))^(n)(C_(n))^(k)(a)^(n − k)(b)^(k).
Коефіцієнт Cₙᵏ рахує, з яких k множників беремо b, а з решти — a. Тому третій степінь має коефіцієнти 1,3,3,1, а не лише два крайні члени. Біном і коефіцієнти.
Перед рахуванням дайте відповідь на два питання: чи змінює перестановка результат і чи можна повторювати об’єкт? Команда та розподіл ролей потребують різних відповідей, хоча початкові чотири люди ті самі.