У плоскому плані кімнати точка (2;1) може означати позначку на підлозі або світильник над нею. Третє число знімає неоднозначність. Покажемо, як координати задають точку, переміщення, площину й сферу в одній простій сцені, не повторюючи весь двовимірний курс.

Третя координата й пряма відстань

Передумови: координати на площині, вектори, рухи площини, просторові прямі, кути й відстані.

Виберемо три попарно перпендикулярні осі x,y,z зі спільним початком O та однаковою одиницею — метром. Обираємо праву орієнтацію осей за правилом правої руки. x та y лежать у підлозі, додатний z спрямований угору. Трійка P(x;y;z) задає положення; z може бути від’ємним, якщо точка нижче підлоги. Площини xy, xz, yz мають рівняння z=0, y=0, x=0 відповідно. Координатна вісь потребує двох нульових координат, а не однієї.

Нехай A(1;1;1), B(3;2;3). Різниці координат — 2,1,2. Спершу Піфагор на підлозі дає квадрат горизонтального зміщення 2²+1²=5; вдруге додаємо квадрат зміни висоти 2². Отже, AB=√9=3 м. Загалом:

d = √((x_(B) − x_(A))^(2) + (y_(B) − y_(A))^(2) + (z_(B) − z_(A))^(2)).

Середина відрізка усереднює кожну координату: M(2;1,5;2). Точка P=A+t(B−A), де 0≤t≤1, ділить відрізок у відношенні AP:PB=t:(1−t). При t=1/3 отримуємо P(5/3;4/3;5/3) і відношення 1:2. t — частка шляху, не довжина в метрах.

Вектори: ті самі дії, ще одна компонента

Вектор u з A до B має координати u=(2;1;2). Він описує зміну положення, а не саму точку B. Додавання, віднімання та множення на число виконуються покомпонентно: для v=(1;−2;0) маємо u+v=(3;−1;2), 2u=(4;2;4). Довжина u дорівнює √(2²+1²+2²)=3.

Скалярний добуток теж отримує третій доданок:

u ⋅ v = u_(x)v_(x) + u_(y)v_(y) + u_(z)v_(z) = ∣u∣ ∣v∣cos⁡θ.

У нашому прикладі 2·1+1·(−2)+2·0=0, тому ненульові u й v перпендикулярні. Кут нульового вектора не визначений, хоча його добуток з будь-яким вектором нульовий. Для ненульових напрямків прямих менший кут φ знаходять із cos φ=|u·v|/(|u||v|); для кута орієнтованих векторів модуль не ставлять.

Третя координата й середина M

xyzA(1;1;1)B(3;2;3)MuO

Нормаль: Q−H=n

H(1;2;2)Q(2;4;4)nα: x + 2y + 2z = 9

Сфера: переріз через H і Q

HQ3 mnα
Перші дві панелі — схематичні паралельні проєкції з власних 3D-координат; довжин і кутів із пікселів не читаємо. У першій пунктир показує складові зміщення й опускання B до xy, M=(A+B)/2; AB=3 м. У другій трикутник — лише видима ділянка нескінченної α, H∈α, Q=H+n, |n|=3. Кутовий маркер — проєкція справжнього просторового прямого кута. Третя панель — сама площина, що містить HQ і перпендикулярна α: у рівномірному масштабі 40 px/м видно велике коло сфери з центром H і радіусом 3 м та слід α через H. Це переріз, не перспективний силует сфери.

Пряма та площина: не переплутати рівняння

Пряма через A з напрямком u задається одним спільним параметром t: x=1+2t, y=1+t, z=1+2t, t∈ℝ. При t=0 це A, при t=1 — B. Якщо обмежити t від 0 до 1, отримаємо відрізок. Якщо компонента напрямку нульова, відповідна координата стала: для v маємо z=const. Не ділимо на нуль у симетричному записі прямої.

Одне лінійне рівняння ax+by+cz=d, де n=(a;b;c)≠0, задає площину, а не просторову пряму. Вектор n — її нормаль. Чому? Для двох точок X,X₀ площини віднімання рівнянь дає n·(X−X₀)=0: будь-яке зміщення всередині площини перпендикулярне n. Два незалежні лінійні обмеження можуть задати пряму як перетин площин.

Нехай α: x+2y+2z=9, n=(1;2;2). H(1;2;2) належить α. Візьмемо Q(2;4;4)=H+n. Довжина QH=|n|=3 м; QH перпендикулярний площині, тому це найкоротша відстань від Q до α. Підстановка Q дає 18, а не 9: вона справді поза площиною.

Загальна відстань від Q(x₀;y₀;z₀) до ax+by+cz=d — |ax₀+by₀+cz₀−d|/√(a²+b²+c²). Справді, для X₀ у площині та основи перпендикуляра H маємо n·(Q−X₀)=n·(Q−H), бо n·(H−X₀)=0. Ділення на |n| дає проєкцію на одиничну нормаль. Модуль прибирає залежність від вибору боку, знаменник нормує нормаль. Власний приклад дає |18−9|/3=3 м. Пропорційні нормалі означають паралельні або збіжні площини; для строгого розрізнення перевіряємо й праві частини рівнянь.

Сфера — умова сталої відстані

Усі точки на відстані r>0 від центра C(a;b;c) утворюють сферу. Формула відстані відразу дає:

(x − a)^(2) + (y − b)^(2) + (z − c)^(2) = (r)^(2).

Наприклад, (x−1)²+(y−2)²+(z−2)²=9 — сфера з центром H і радіусом 3 м; Q лежить на ній. Знак ≤ замість = задає кулю разом із межею. На площині z=2 ця сфера дає коло (x−1)²+(y−2)²=9; у просторі саме рівняння кола потрібно доповнити z=2. Поверхню, тіло й плоске коло докладніше розрізнимо в темі про сферу.

Додаткові координатні прикладиОзначення точки, прямої, площини та сфери вище вже завершені.

Відгалуження · Перетворення простору

Перенесення на (p;q;r) дає (x+p;y+q;z+r). Відбиття відносно xy дає (x;y;−z); центральна симетрія відносно O — (−x;−y;−z). Симетрія відносно осі z — півоберт (−x;−y;z), а не дзеркальне відбиття в площині. Поворот на 90° навколо додатної осі z за правилом правої руки дає (−y;x;z). У кожному випадку відстань між двома точками зберігається: підставте різниці координат у суму трьох квадратів. У системі координат тут рухаємо точки, а не осі.

Гомотетія з центром O та k≠0 дає (kx;ky;kz), множить довжини на |k|, площі на k², об’єми на |k|³. При k=±1 це рух; для інших k — зміна масштабу. Це просторове продовження G023, а не проєкція зі втратою координати.

Джерела й межі

Шкільні означення й перетворення: Істер, геометрія 10 клас, §§13–19. Додатково AMSI, Three-dimensional coordinate geometry — координати, середина, пряма та площина; Purdue, Lines and Planes — напрямок, нормаль та обмеження симетричного запису. Власні точки й обчислення перевірено окремо. Усі метричні формули тут стосуються прямокутної системи з однаковими одиницями; довільна сітка 3D-редактора без цих умов їх не гарантує.