Потрібна друга трикутна деталь точно тієї самої форми й розміру. Чи треба вимірювати всі три сторони й усі три кути? Ні: деяких наборів із трьох величин достатньо. Але слово «деяких» тут вирішальне.
Два трикутники рівні, або конгруентні, якщо їх можна повністю сумістити без зміни розміру. Три основні ознаки — дві сторони й кут між ними, сторона й два прилеглі кути або три сторони. Передумова — сторони й кути трикутника.
Спочатку зіставляємо вершини
Можна переносити, повертати й дзеркально перевертати фігуру. Самого збігу площі чи периметра недостатньо. Запис ΔABC≅ΔDEF задає відповідність A↔D, B↔E, C↔F. Отже, AB відповідає DE, BC — EF, AC — DF. Порівнювати треба саме ці пари.
Коли рівність установлено, рівні всі відповідні сторони й кути, а не тільки перевірені три величини.
Три набори, які фіксують трикутник
SAS: дві сторони й кут між ними. Якщо AB = DE, AC = DF та ∠A = ∠D, трикутники рівні. Уявімо суміщення A з D і сторони AB з DE. Кут задає напрям другої сторони, а її довжина — місце третьої вершини. Вона вже не може вільно ковзати. Слова «між ними» не можна відкидати. Евклід I.4.
ASA: сторона й два прилеглі кути. Суміщаємо задану сторону; два кути задають із її кінців два промені. Їхній перетин визначає третю вершину. Потрібні позитивні кути із сумою меншою за 180°. Якщо відомі два інші відповідні кути й сторона, спершу знаходимо третій кут за сумою 180° та зводимо до цього випадку. Евклід I.26.
SSS: три сторони. Якщо всі три пари довжин відповідно рівні, трикутники рівні. При фіксованій основі решта дві довжини допускають дві дзеркальні позиції вершини; вони дають рівні, а не різні за формою трикутники. Довжини мають задовольняти строгі нерівності з попереднього уроку. Евклід I.8.
SAS · дві сторони й кут між ними
ASA · сторона й прилеглі кути
SSS · три сторони
SSA · дві різні позиції C
Це пояснює геометричну жорсткість трикутної рамки з незмінними сторонами: змінити кути, зберігши всі три довжини, не вийде. Така модель не розраховує міцності справжніх матеріалів і з’єднань під навантаженням.
Чому будь-які три дані не годяться
Дано AB=8, BC=5 та ∠A=30°, довжини в одній вибраній одиниці. Кут A не лежить між двома заданими сторонами: вони сходяться в B. На схемі вершина C має дві можливі позиції на тому самому промені. В обох відстань до B дорівнює 5, але AC різні. Отже, «дві сторони й будь-який кут» не є загальною ознакою. Це неоднозначний випадок SSA. Пояснення до I.26.
Три кути також не задають розмір: можна збільшити весь трикутник удвічі, зберігши кути, але подвоївши довжини. Такі фігури не конгруентні.
Що додає прямий кут
У прямокутному трикутнику дві сторони біля прямого кута — катети, а протилежна йому — гіпотенуза. Вона найдовша, бо лежить проти найбільшого кута.
Для двох прямокутних трикутників достатньо рівності відповідних катетів: між ними вже задано 90°, це SAS. Катет і відповідний гострий кут також достатні, як і гіпотенуза та відповідний гострий кут: другий гострий кут доповнює перший до 90°, і працює ознака за двома кутами й стороною.
Окрема ознака: рівні гіпотенузи й по одному відповідному катету теж гарантують рівність. Прямокутність обох трикутників тут обов’язкова; без неї повертається неоднозначність двох сторін і кута. Спеціальний випадок у коментарі до Евкліда I.26.
Для копії деталі запишіть, яким вершинам відповідають виміряні елементи, і назвіть конкретну ознаку. Саме вона дозволяє обґрунтовано відновити решту розмірів.